Soluciones a "Vakil - Fundamentos de la Geometría Algebraica" ejercicios

Question

Creo que las notas del Profesor Ravi Vakil son una gran fuente para conocer la geometría algebraica. La exposición es muy clara, y pusieron un gran esfuerzo para dar una imagen intuitiva junto con una impecable precisión formal.

Por supuesto, en todo el libro hay cientos de ejercicios, algunos de ellos son fáciles, otros son más involucrados, dependiendo también del lector de fondo en el campo.

Creo que sería muy bonito y útil para iniciar un archivo con las soluciones de los ejercicios, al menos por tres razones:

• Sería muy útil para la gente que quiere aprender el tema. Siempre es una buena idea para tratar de resolver los ejercicios por sí mismo, pero a veces simplemente no puede hacerlo, o simplemente quieres comprobar tu solución para asegurarse de que estaban en lo correcto.

• Una vez que un buen número de soluciones se recoge, sería un gran regalo para Ravi. Probablemente, sus notas serán publicados como un libro que con el tiempo él podría decidir la publicación de nuestro archivo en la forma de una Solución de libro.

• Sería un gran estímulo para los estudiantes a resolver los ejercicios y escribir la solución con cuidado y precisión. Todo el mundo quiere ganar puntos aquí en StackExchange ;-)

Me propongo publicar la solución de cada ejercicio solo como una respuesta, con el siguiente formato:

1. Ejercicio número en negrita, junto con la versión de las notas, de la cual fue tomado. Especifique si se trata de un asterisco en una o doble-protagonizó el ejercicio.

2. Cuerpo del ejercicio dentro de una cita en bloque. Yo diría que esto no es obligatorio, pero muy apreciado.

3. "Solución:" en negrita, seguido por la solución del ejercicio.

He aquí un ejemplo de formato:

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Ejercicio 1.3.Un - 11 de junio de 2013 versión

Mostrar que cualquiera de las dos iniciales de los objetos únicamente son isomorfos. Mostrar que cualquiera de los dos finales objetos únicamente son isomorfos.

Solución:

Supongamos $A$ e $A'$ son los dos primeros objetos de $\dots$

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El hecho de que se nos ha puesto a cada solución en una respuesta diferente da otra buena razón para hacer un archivo aquí en StackExchange: las soluciones de la mayoría de interesantes ejercicios esperemos que upvoted y aparecen en primer lugar en la lista de respuestas, lo que les da el énfasis que merece.

Espero que os guste esta idea, y por supuesto cualquier sugerencia para mejorar es bienvenida!

Answer 1

Ejercicio 9.2.B - 11 de junio de 2013 versión

Deje $\phi: B\to A$ ser un anillo homomorphism y $I\subset B$ e ideal. Deje $I^e := \langle\phi(i)\rangle_{i\in I} \subset A$ ser la extensión de $I$ ot $A$. Describir un isomorfismo natural $A/I^e \cong Un\otimes_B (B/I)$.

Solución:

Primero, note que tenemos una canónicas de identificación de $ I^e \cong I\otimes_B A $, que sigue inmediatamente a partir de la definición de la $B$-módulo de estructura inducida por $\phi$ a $A$.

A continuación, aplicar el derecho functor exacto $\square\otimes_B A$ a la secuencia exacta $$ I\to B \to B/I \to 0 $$ para obtener el número exacto $$ I\otimes_B A\to B \otimes_B A \to (B/I) \otimes_B A \to 0 $$ y el uso de la anterior identificación y $B \otimes_B A \cong A$ a concluir.