Resolver ecuaciones con raíces cuadradas

Question

Soy un estudiante y a menudo encuentro este tipo de ecuaciones:

PS

Por lo general, resuelvo esto tomando un término ( $$\sqrt{x^2 + (y-2)^2} + \sqrt{x^2 + (y+2)^2} = 6$ por ejemplo) al lado derecho, pero parece que esto toma más tiempo. Por favor, sugiérame algunos métodos que puedan ayudarme a resolver este tipo de problemas rápidamente.

Gracias

Answer 1

El lado izquierdo de esta ecuación equivalente a la distancia desde el punto (x, y) y el punto (0, 2) que se agrega a la distancia desde el punto (x, y) y el punto (0, -2). Si estas distancias agregar a 6, entonces podemos ver que la solución de los formularios de una elipse con centro (0, 0) focos (0, 2), (0, -2). Mediante la resolución de los puntos donde la distancia de los dos focos es de 3 obtenemos los vértices en $(\sqrt 5, 0)$, $(-\sqrt5, 0)$, $(0, 3)$, $(0, -3)$. De manera que la ecuación de la elipse y, por tanto, la solución está dada por: $$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9} = 1$$

Answer 2

Utilizar

$$\sqrt a+\sqrt b=c$ $ entonces

PS

entonces

PS

y finalmente

PS

---

En tu caso,

PS

o

$$a+2\sqrt{ab}+b=c^2$ $ que es una elipse centrada y alineada con el eje.

Answer 3

Indicar: $$\begin{cases}x^2 + (y-2)^2=t^2 \\ x^2+(y+2)^2=t^2+8y\end{cases}.$$ Entonces: $$\sqrt{x^2 + (y-2)^2} + \sqrt{x^2 + (y+2)^2} = 6 \Rightarrow \\ t+\sqrt{t^2+8y}=6 \Rightarrow \\ t^2+8y=36-12t+t^2 \Rightarrow \\ t=\frac{9-2y}{3}.$$ Un enchufe en la primera ecuación: $$x^2+(y-2)^2=\left(\frac{9-2y}{3}\right)^2 \Rightarrow \\ 9x^2+9y^2-36y+36=81-36y+4y^2 \Rightarrow \\ 9x^2+5^2=45 \Rightarrow \\ \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1.$$

Answer 4

Una buena manera de hacer problemas como estos es la de tomar ventaja de nuestro conocimiento de la factorización de diferencia de cuadrados.

Dado que $$\begin{align}\sqrt{x^2 +(y-2)^2} + \sqrt{x^2+(y+2)^2} &= 6 &[1]\\ \end{align}$$ y que $$\begin{align}(x^2 +(y-2)^2) - (x^2+(y+2)^2) &= -8y &[2]\\ \end{align}$$

tenemos (por $\frac{[2]}{[1]}$) $$\begin{align}\sqrt{x^2 +(y-2)^2} - \sqrt{x^2+(y+2)^2} = \frac{-8y}{6} &= -\frac{4}{3}y &[3]\\ \end{align}$$

La adición de $[1]$ e $[3]$ nos da $$\begin{align} 2\sqrt{x^2 +(y-2)^2} &= 6-\frac{4}{3}y &[4]\\ 4(x^2 +(y-2)^2) &= \bigg(6-\frac{4}{3}y\bigg)^2\\ 4x^2 +4y^2-16y+16 &= \frac{16}{9}y^2-16y+36\\ x^2 +y^2+4 &= \frac{4}{9}y^2+9\\ x^2 +\frac{5}{9}y^2 &= 5\\ \frac{x^2}{5} +\frac{y^2}{9} &= 1\\ \end{align}$$