Demostrar que la diferencial en una curva elíptica $E$ dado por $\omega=\frac{dx}{y}$ es invariable por traslación

Question

Estoy haciendo un curso sobre curvas elípticas y estoy atascado en una línea de una prueba.

Suponemos que estamos en un campo algebraicamente cerrado $K$ y char( $K)\not=2$ . Tenemos nuestra curva elíptica

$$E:y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$$

donde el $e_i$ son distintos.

Hemos demostrado que $\omega=\frac{dx}{y}$ es un diferencial regular en $E$ .

Ahora para $P \in E$ definimos

$\begin{array}{llll}\tau_P:&E &\rightarrow &E \\ & Q & \mapsto & P \bigoplus Q.\end{array}$

Desde $\tau_P^*\omega$ es un diferencial regular en $E$ tenemos $\tau_P^*\omega=\lambda_P \omega$ para algunos $\lambda_P \in K^\times$ . Entonces se afirma que

El mapa $$\begin{array}{lll}E &\rightarrow & \mathbb{P}^1 \\ P & \mapsto & \lambda_P\end{array}$$ es un morfismo de curvas algebraicas.

Ahora no estoy seguro de por qué esto es cierto. Si pudiera demostrar que se trata de un mapa racional, entonces habría terminado, ya que los mapas racionales de las curvas proyectivas lisas son morfismos.

Bueno, siempre y cuando $P\not=0_E$ y no estamos donde las fórmulas para sumar puntos degeneran, tenemos (digamos $P=(x_P,y_P)$ )

$\tau_P^*\omega=\frac{d(x \circ \tau_P)}{y\circ \tau_P}=\left(\mbox{rational function of }x, y, x_P\mbox{ and }y_p\right) \frac{dx}{y}$

pero no veo por qué esa función racional no tiene realmente ninguna $x$ o $y$ dependencia. Porque $\omega$ es un $K$ -para el espacio de diferenciales regulares sabemos que esta función racional está en $K$ . ¿Es eso?

Answer 1

El mapa $P\mapsto (\lambda_P:1)$ es un mapa racional porque está dado por funciones racionales (el $\lambda_P$ 's). Como has señalado en la pregunta, se trata efectivamente de un morfismo de curvas algebraicas. Ahora bien, como es un morfismo entre curvas proyectivas integrales no singulares, es o bien suryente o bien constante. Pero como $(1:0)$ no es golpeado, debe ser constante. Y se puede calcular, por ejemplo, el valor $\lambda_O$ que es $1$ . (Yo nombré $O$ el origen $(0:1:0)\in E$ .) Esto demuestra, de paso, que $\tau_P^\ast\omega=\omega$ por cada $P\in E$ .