Cómo resolver laplace inverso usando la convolución.

Question

El problema es encontrar la inversa de laplace de: $Y(s) =\frac{18}{s(s-6)} + \frac{2}{s-6}$.

Eres capaz de resolver este problema mediante la convolución, por la ruptura de los términos en:

$18 * \mathscr{L} (\frac{1}{s}) * \mathscr{L}(\frac{1}{s-6})$

Traté de resolverlo utilizando este método, pero no se obtiene la misma solución de problemas por medio de fracciones parciales. Gracias de antemano por la ayuda!

La respuesta que he encontrado a través de fracciones parciales es: $5e^{6t}-3$

Mi solución se muestra en la imagen de abajo!

Answer 1

$$ \ frac {18} {s (s-6)} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s-6} = \\ = \ frac {A (s-6) + Bs } {s (s-6)} = \ frac {s (A + B) - 6A} {s (s-6)}. $$

Entonces:

PS

Lo cual se cumple cuando los numeradores son iguales. En particular, necesitas plantear:

$$ \begin{cases} A+B = 0\\ -6A = 18 \end {cases} \ Rightarrow \begin{cases} B = 3\\ A = -3 \end {cases}. $$

Finalmente:

PS

Esto puede ser fácilmente anti-transformado:

PS

Answer 2

Usando Convolución (ver Parte$2$) para la primera parte, tenemos:

PS

Usando transformadas de Laplace inversas para la segunda parte:

PS

Sumando los dos resultados:

PS