$\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{(4^x-1)^3}{\sin\left(\dfrac{x}{a}\right)\log\left(1+\dfrac{x^2}{3}\right)}$

Question

Límite de la función como$x \rightarrow 0$

$$\ lim_ {x \ rightarrow 0} \ dfrac {(4 ^ x-1) ^ 3} {\ sin \ left (\ dfrac {x} {a} \ right) \ log \ left (1+ \ dfrac { x ^ 2} {3} \ derecha)}$$

Inicialmente cambié$4^x$ a$e^{x \ln(x)}$ y luego intenté manipular la función usando la regla de L'Hopital. Pero luego llegué a la conclusión de que eso no era suficiente para la evaluación; Se requiere más simplificación.

Answer 1

Usa la serie de Taylor.

Como $x \rightarrow 0$:

PS

$$4^x = 1 + x \ln 4 + o(x)$$$ $\sin x = x + o(x)$ $

Asi que:

$$\ lim_ {x \ rightarrow 0} \ dfrac {(4 ^ x-1) ^ 3} {\ sin \ left (\ dfrac {x} {a} \ right) \ ln \ left (1+ \ dfrac { x ^ 2} {3} \ right)} = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ dfrac {(x \ ln4) ^ 3} {\ left (\ frac {x} {a} \ right) \ left (\ frac {x ^ 2} {3} \ derecha)} = 3 a (\ ln 4) ^ 3$$

Answer 2

Y ahora, sin tiempo para Taylor o lhopital como se había previsto.

$$L=\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{3 \times a\times \dfrac{(4^x-1)^3}{x^3}}{\dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{a}\right)}{\dfrac{x}{a}}\times \dfrac{\log\left(1+\dfrac{x^2}{3}\right)}{\dfrac{x^2}{3}}}$$

Observe cómo he escrito la expresión aquí y es igual a la expresión que usted ha mencionado.

Ahora vamos a utilizar tres límites estándar dado por.

1)$\lim_\limits{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$

2)$\lim_\limits{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$

3)$\lim_\limits{v\to 0}\frac{\ln (1+v)}{v}=1$

El uso de estos límites podemos conseguir.

$L=3a \times (\ln 4)^3$