La iteración de punto fijo no converge, ¿cómo encontrar su convergencia?

Question

$g(x)=(2/3)(\cos x-\sin x)$

$x_n=g(x_{n-1})$

con la estimación inicial $x_0=1$

Necesito calcular para n= 0,1,...,8

Cuando lo intento, mi secuencia se desvía: $x_1=-0.20078$ , $x_2=0.78623$ , $x_3=-0.00079$ ...etc...

En una siguiente pregunta, pretendo compararlo con el de Aitken y ver cuál converge más rápido, pero no converge en absoluto.

Answer 1

Los resultados que obtiene son bastante oscilantes y parece que no converge. Pero lo hace.

Answer 2

Desde $|g'(x)| \le \dfrac{2 \sqrt2}{3} $ para todos $x$ la iteración de $g$ converge para todo puntos iniciales a un punto fijo de $g$ .

Sólo hay un punto fijo, que es aproximadamente $x^*=0.37562$ .

Desde $\dfrac{2 \sqrt2}{3} \approx 0.94$ está cerca de $1$ La convergencia puede ser lenta.

De hecho, $|g'(x^*)|\approx 0.86$ que es mejor que $0.94$ .

Answer 3

Como primera aproximación, la función es lineal en el rango objetivo, con una pendiente negativa.

La ecuación

$$x_n=ax_{n-1}+b$$ tiene la solución general

$$x_n=ca^n+\frac b{1-a}.$$

Así que converge como $|a|<1$ (empíricamente, $a=-0.85$ ), con un comportamiento oscilante porque $a<0$ . El valor absoluto del error es estrictamente decreciente. Se necesitan algo más de cuatro iteraciones para reducirlo a la mitad.

Answer 4

Probé con la conjetura inicial como x0=25 (sí, veinticinco. Sólo una conjetura arbitraria) pero converge a la raíz de la ecuación que es 0.375620350623..... Incluso con su conjetura inicial, el resultado no converge, pero toma más número de iteraciones si empezamos con mi conjetura, así como su conjetura como se explica por una de las respuestas anteriores.