Supongamos que tenemos un grupo G. ¿Es este un grupo multiplicativo (o aditivo) de algún campo? Creo que un grupo arbitrario no es adecuado (por ejemplo, en el caso de un grupo multiplicativo de campos finitos debería ser cíclico). ¿Qué propiedades debe tener este grupo G (es muy interesante en el caso de grupos infinitos)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El aditivo caso es sencillo: cada campo es un espacio vectorial sobre su primer subcampo (el subcampo generado por $1$), el cual es $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{F}_p$ para algunos $p$, y en ambos casos existen campos que tiene cada dimensión como espacios vectoriales. Así el problema se reduce a la caracterización que abelian grupos son espacios vectoriales sobre un primer campo (ya sea a $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{F}_p$ para algunos $p$). Tenga en cuenta que esta es una propiedad, no una estructura.
El abelian grupos a los que se $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales son, precisamente, los que son ambos divisibles y de torsión, y la abelian grupos a los que se $\mathbb{F}_p$-espacios vectoriales son precisamente aquellas para las que cada elemento tiene orden (dividir) $p$, ¿a qué grupo de los teóricos de la llamada de la primaria abelian $p$-grupos.
En el caso multiplicativo, cada finito subgrupo del grupo multiplicativo de un campo es cíclico, que es bastante fuerte restricción. Para una discusión más detallada ver este MO pregunta.
