Calcula la transformada de Legendre para un lagrangiano singular

Question

Estoy dado el lagrangiano:

$$ L(q,\dot{p}) = \frac{1}{2}(\dot{q_1}^2+\dot{q_2}^2+2\dot{q_1}\dot{q_2})-\frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4). $$

Tengo que calcular la transformación de Legendre asociadas a ella. El problema es que la cinética de la matriz:

$$A(q) = \begin{bmatrix} 1&1 \newline 1&1 \end{bmatrix}$$

es un singular de la matriz, por lo tanto no puedo invertir la relación entre el conjugado momenta $[p_{q_1},p_{q_2}]$ y las velocidades generalizadas $(\dot{q}_1,\dot{q_2})$.

¿Cómo se tiene que mover con el fin de calcular la transformación de Legendre y por lo tanto el Hamiltoniano asociado a la función?

Este es sólo un ejemplo de una situación en la que nunca he enfrentado y no sé cómo mover... por otra parte, el hecho de que el \begin{align} \left(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q_i} \partial \dot{q}_j}\right)_{ij} \end{align} es invertible, es un requisito natural para invertir esa transformación.

Answer 1

Como una nota rápida, las ecuaciones de movimiento que venir de Lagrange son

$$\frac{d}{dt}\left(\dot q_1 + \dot q_2\right) = -2kq_1^3$$ $$\frac{d}{dt}\left(\dot q_2 + \dot q_1\right) = -2kq_2^3$$

La Dirac procedimiento para la singular Lagrangians va como sigue:

Paso 1: Calcular la generalización de los impulsos como de costumbre $$p_1 \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q_1} = \dot q_1+\dot q_2$$ $$p_2 \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q_2} = \dot q_1+\dot q_2 = p_1$$

Claramente este no es invertible. Tenemos una "buena" de la ecuación (definición de la $p_1$ en términos de las velocidades generalizadas) y uno "malo" de la ecuación ($G\equiv p_2-p_1 = 0$, una relación algebraica entre el momenta en que las velocidades no aparecen).

$G=0$ se denomina principal restricción de la Dirac procedimiento - algebraica de la relación entre los impulsos y (posiblemente) de coordenadas, en el que la generalización de las velocidades están ausentes.

Paso 2: Calcular el ingenuo de Hamilton

Si calculamos el Hamiltoniano como de costumbre, nos encontramos con

$$H_0 = p_1\dot q_1 + p_2 \dot q_2 - L = p_1(p_1-\dot q_2) + p_2 \dot q_2 - \frac{1}{2}p_1^2 + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4)$$ $$ = \frac{p_1^2}{2} + (p_2-p_1)\dot q_2 + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4)$$ $$ = \frac{p_1^2}{2} + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4)$$

Si se calculan las ecuaciones de Hamilton, verás que no coinciden con las ecuaciones de Lagrange:

$$\dot p_1 = -\frac{\partial H_0}{\partial q_1} = -2kq_1^3$$ $$\dot p_2 = -\frac{\partial H_0}{\partial q_2} = -2kq_2^3$$ $$\dot q_1 = \frac{\partial H_0}{\partial p_1} = p_1$$ $$\dot q_2 = \frac{\partial H_0}{\partial p_2} = 0$$

Paso 3: Extender el espacio de fase y construir el Hamiltoniano completo

Ahora extendemos el espacio de fase mediante la introducción de una nueva variable $v$, y la definición que de Poisson-conmuta con la fase regular del espacio de las variables, es decir, $$\{v,q_i\} = \{v,p_i\} = 0$$

El Hamiltoniano completo se obtiene multiplicando $v$ por nuestro principal restricción $G$ y agregarlo a $H_0$:

$$H = \frac{p_1^2}{2} + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4) + v(p_2-p_1)$$ El nuevo Hamiltoniano ecuaciones son

$$\dot p_1 = -\frac{\partial H}{\partial q_1} = -2kq_1^3$$ $$\dot p_2 = -\frac{\partial H}{\partial q_2} = -2kq_2^3$$ $$\dot q_1 = \frac{\partial H}{\partial p_1} = p_1-v$$ $$\dot q_2 = \frac{\partial H}{\partial p_2} = v$$

Paso 4: Obtener relaciones algebraicas

Debido a $G$ es idéntica a cero, debe ser que $$\dot G = \dot p_2 - \dot p_1 = 0$$ $$\implies T\equiv q_2^3-q_1^3 = 0$$

Llamamos a $T$ una secundaria de la restricción de la Dirac procedimiento - una restricción obtenidos a través de la diferenciación de una primaria de restricción y, a continuación, simplificado mediante el uso de la Hamilton ecuaciones obtenidas a partir de la completa Hamiltoniana (aunque en este caso, el ingenuo de Hamilton habría hecho igual de bien).

Paso 5: Determinar el $v$ y eliminar desde el Hamiltoniano completo

La diferenciación de la secundaria restricción nos permite determinar $v$:

$$\dot T = 3(q_1^2 \dot q_1 - q_2^2 \dot q_2) = 3(q_1^2[p_1-v] - q_2^2[v])$$ $$= 3(q_1^2 p_1 - (q_1^2+q_2^2)v) = 0$$ $$\implies v = \frac{q_1^2 p_1}{q_1^2 + q_2^2}$$

y así

$$H = \frac{p_1^2}{2} + \frac{k}{2}(q_1^4+q_2^4) + \frac{q_1^2 p_1}{q_1^2+q_2^2}(p_2-p_1)$$

Y eso es todo, hemos terminado.

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Usted puede confirmar que esto, junto con la primaria y secundaria restricciones, reproduce el correcto ecuaciones de movimiento:

$$\dot p_1 = -\frac{\partial H}{\partial q_1} = -2kq_1^3 - \frac{2q_1(1-q_1^2)(p_1p_2-p_1^2)}{q_1^2+q_2^2}$$ $$\dot p_2 = -2kq_2^3 +\frac{2q_2q_1^2(p_1p_2-p_1^2)}{q_1^2+q_2^2}$$ $$\dot q_1 = p_1 + \frac{q_1^2}{q_1^2+q_2^2}(p_2-2p_1)$$ $$\dot q_2 = \frac{q_1^2}{q_1^2+q_2^2} p_1$$ $$G \equiv p_2-p_1 = 0$$ $$T\equiv x_2^3-x_1^3 = 0$$

que se simplifica a

$$\dot p_1 = \frac{d}{dt}(\dot q_1 + \dot q_2) = -2kq_1^3 = -2kq_2^3$$

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En resumen, singular de Lagrange sistemas tienen varias características en común

1. La definición de las ecuaciones para la generalización de los ímpetus de rendimiento (algunos) ecuaciones algebraicas entre el espacio de fase variables que no se incluyen generalizado de la velocidad, y el sistema es, por tanto, no es invertible. Estas ecuaciones se denominan principales limitaciones, y sus derivados rendimiento secundaria restricciones
2. El procedimiento para obtener el Hamiltoniano completo se extiende el espacio de fase y utiliza las nuevas variables un poco como multiplicadores de Lagrange para agregar las principales limitaciones para el ingenuo de Hamilton
3. Al menos algunos de los "multiplicadores de Lagrange" puede ser eliminado de la nueva Hamilton ecuaciones mediante el uso de la primaria y secundaria restricciones, y el sistema resultante de ecuaciones (ecuaciones de Hamilton + restricciones) reproduce la dinámica original
4. Este no fue incluida en este ejemplo, pero cualquier multiplicadores que siguen siendo indeterminadas al final de este procedimiento escriba las soluciones como funciones arbitrarias, que no han sido determinadas por las ecuaciones de Lagrange del movimiento tampoco.

Answer 2

Usuario J. Murray ya ha dado una buena respuesta. Déjenos aquí resumir cómo la Dirac-Bargmann análisis de proceder en la (posiblemente conceptualmente más simple) coordenadas

$$q^{\pm}~:=~q^1\pm q^2, \qquad p_{\pm}~:=~\frac{p_1\pm p_2}{2}.$$

OP original de Lagrange, a continuación, lee

$$ L_0~=~ \frac{1}{2} (\dot{q}^+)^2 -V, \qquad V~=~ \frac{k}{16}\left((q^+)^4+(q^-)^4+6(q^+)^2(q^-)^2\right).$$

Principal restricción:

$$p_-~\approx~0.$$

Original De Hamilton:

$$H_0~=~\frac{1}{2} p_+^2 +V.$$

Verificación de consistencia:

$$ 0~\aprox~-\dot{p}_-~\aprox~\{H_0,p_-\} ~=~\frac{\partial V}{\partial q^-}~=~\frac{k}{4}p^-\left((p^-)^2+3(p^+)^2\right).$$

Secundaria restricción:

$$q^-~\approx~0.$$

Resultado: Hamiltoniano:

$$H~=~\frac{1}{2} p_+^2 +\frac{k}{16}(q^+)^4 $$

con 2 de segunda clase restricciones: $$p_-~\approx~0~\approx~q^-.$$

Referencias:

1. M. Henneaux & C. Teitelboim, la Cuantización de Sistemas de trocha, 1994.