¿Es el Euler característico de $\mathbb{R}^n$ $1$ o $(-1)^n$?

Question

Podemos definir la característica de Euler de un espacio topológico $X$ usando singular integral de homología por

$$\chi(X)=\sum_{i}(-1)^i\,\text{rank}\: H_{i}(X;\mathbb{Z}),$$

Entonces tenemos que $\chi(\mathbb{R}^n)=\chi(B^{n})=1$ desde $\mathbb{R}^{n}$ e las $n$-ball $B^{n}$ son contráctiles y como se definen $\chi$ es un homotopy invariante. También, para el $n$-esfera $\chi(S^{n})=1+(-1)^{n}$.

Por otro lado, la escisión de la propiedad nos dice que $\chi(X)=\chi(C)+\chi(X-C)$ para cualquier subconjunto cerrado $C$$X$. Por lo tanto, desde el $\mathbb{R}^{n}$ es homeomórficos al interior de $B^{n}$ tenemos que $$\chi(\mathbb{R}^{n})=\chi(B^{n})-\chi(S^{n-1})=1-(1+(-1)^{n-1})=(-1)^{n}.$$

Cuál es la respuesta correcta? A donde voy mal?

Edit: Vea la página 2 de Liviu I. Nicolaecu de notas en la característica de Euler (tenga en cuenta que el de Euler characterisric es definida usando de forma compacta compatible cohomology).

Edit: Lo que acerca de esto? Agregar el punto en el infinito a $\mathbb{R}^{n}$, lo que nos da una celda de la descomposición de tener una $0$-célula y un $n$-célula. Pero el punto de compactification es una $n$-esfera por lo tanto tener la característica de Euler $1+(-1)^{n}$. A continuación, la eliminación de los añadidos punto de las hojas de $(-1)^{n}$ como la característica de Euler de $\mathbb{R}^{n}$.

Answer 1

Su definición de característica de Euler no está de acuerdo con las notas del a que enlace. Notas de Nicolaecu hablan del compacto apoyado grupos de cohomología, y es cierto (como calcula, que $H_c^k(R^n) \cong 0$ si $k\neq n$ y $\cong R$ si $k=n$, por lo tanto, $\chi(R^n)=(-1)^n$ con su definición de Euler característico (también hay otra noción (y más comúnmente usado) de característica de Euler, que es la que define, pero es distinto al compacto soportado)

Answer 2

El % de bola $B^n$no es homeomorfa a la Unión de separados de la esfera del límite y su interior. Para que el cálculo de $\chi(\mathbb{R}^n) = \chi(pt) = 1$ es la correcta.

Answer 3

Con la combinatoria de definición, y la que utiliza de forma compacta compatible cohomology tenemos $\chi(\mathbb{R}^{n})=(-1)^n$.

Si utilizamos la homología singular, a continuación,$\chi(\mathbb{R}^{n})=1$.

La confusión surgió del hecho de que desde $\mathbb{R}^n$ no es compacto, la definición topológica de $\chi$ el uso de la homología y la costumbre de combinatoria definición de $\chi$ (es decir, en términos de una descomposición en celdas abiertas homeomórficos a $\mathbb{R}^m$) no coinciden.

La escisión de la propiedad (también conocido como la inclusión-exclusión de la fórmula) no tiene, en general, a la hora de definir la característica de Euler utilizando la homología. Sin embargo,en el caso de finito compacto CW complejos. Para la combinatoria definición y el uso de forma compacta compatible cohomology la escisión propery sostiene.

La combinatoria definición, y la definición de usar de forma compacta compatible cohomology hacer coincidir. Con cualquiera de estas dos definiciones de $\chi$ es homotopy invariante para un finito compacto cw complejos.

Hatcher libro, o Nicolaescu notas son buenas referencias para el topológica definiciones de $\chi$. Para la combinatoria uno esta así.

El argumento que me dan en la segunda edición de la publicación de la pregunta es válida siempre que trabajamos con la combinatoria de definición.