Proposición 5.4.4. en Tao

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente proposición en el libro de texto de análisis de Tao.

Para cada número real $x$ exactamente una de las tres afirmaciones siguientes es cierta: (a) $x$ es cero; (b) $x$ es positivo; (c) $x$ es negativo. Un número real $x$ es negativo si y sólo si $-x$ es positivo. Si $x$ y $y$ son positivos, entonces también lo son $x + y$ y $xy$ .

No estoy seguro de cómo enfocar la primera parte. Tao define los números reales como límites de las secuencias de Cauchy de los racionales, aunque sin definir todavía qué es un límite. Define un número real positivo como aquel que puede escribirse como límite de una secuencia de Cauchy de racionales acotada positivamente lejos de $0$ y un número real negativo como uno que puede escribirse como el límite de una secuencia de Cauchy acotada negativamente lejos de $0$ . Tenemos una ley de tricotomía para los racionales, que podría extenderse a cada elemento de la secuencia, tal vez, para decir que, al arrojar un número finito de términos, la secuencia es idéntica a cero, positivamente limitada lejos de cero, o negativamente limitada lejos de $0$ y por lo tanto $x$ es $0$ , positivo o negativo. Sin embargo, todavía no estoy seguro de cómo formalizar esto, o si estoy en el camino correcto.

La segunda afirmación parece bastante sencilla. Si $x$ es negativo está acotado negativamente lejos de $0$ Tenemos $x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n$ y $\exists - c < 0$ (- $c$ racional) tal que $a_n \leq -c$ Por lo tanto, $-x = \text{LIM}_{n \to \infty} -a_n$ donde tenemos, multiplicando por $-1$ que $\exists c > 0$ tal que $-a_n \geq c$ , lo que significa $x$ está acotado positivamente fuera de $0$ y, por tanto, es positivo. La implicación contraria es similar.

En cuanto a la tercera parte: dejemos $x = \text{LIM}_{n \to \infty} a_n$ y $y = \text{LIM}_{n \to \infty} b_n$ . $x$ y $y$ son positivos, lo que significa que $a_n$ y $b_n$ están acotados positivamente lejos de $0$ Así que $\exists c > 0, a_n \geq c$ y $\exists d > 0, b_n \geq d$ . Así, para cualquier $n$ , $a_n + b_n \geq c + d$ y como los reales positivos son cerrados bajo la adición, $c + d > 0$ y $a_n + b_n$ también está acotado positivamente lejos de cero, por lo que $x + y$ también es positivo. La cuarta parte es similar, pero con un producto, $cd$ en lugar de una suma.

Suponiendo que no haya cometido ningún error u omisión, creo que entiendo cómo escribir las partes posteriores del problema, pero la primera parte me sigue resultando bastante confusa. Cualquier ayuda o idea sería muy apreciada.

Answer 1

Este es un esquema parcial [desordenado]:

Dejemos que $y$ sea un número real.

Lo haremos en dos partes: 1) demostrar que $y$ puede ser etiquetado como positivo, negativo o 0 2) demostrar que $y$ no pueden ser simultáneos: 0 y positivo; 0 y negativo; o positivo y negativo.

1) Supongamos primero que $y \not\equiv 0$ . Entonces, por el lema $5.3.14$ [en mi copia del libro]

Dejemos que $x$ sea un número real no nulo. Entonces $x=LIM_{n\rightarrow \infty} a_n$ para alguna secuencia de Cauchy $(a_n)_{n = 1}^{\infty}$ que está acotado lejos de cero.

Así que podemos decir $y=LIM_{n\rightarrow \infty}a_n$ donde existe algún racional $c>0$ tal que para todo $n$ , $|a_n|\geq c$ .

a) Supongamos que $y$ no es negativo. Demostraremos que $y$ debe ser positivo.

Lema 1: Sea $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ sea Cauchy. Fijar $m$ . Entonces la secuencia $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ , donde $b_n=a_{m+n}$ es de Cauchy y equivalente a $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ .

[La prueba de este lema se basa en la definición epsilon-N de "Cauchy".]

Afirmación 1: Existe $N$ tal que para todo $n\geq N$ , $a_n\geq c$ .

Prueba de la afirmación 1: En primer lugar, sabemos que para todo $N$ debe existir algún $n\geq N$ tal que $a_n>0$ ya que de lo contrario tendríamos unos $N_0$ tal que para todo $n\geq N_0$ tenemos $a_n\leq -c<0$ y así $y=LIM (a_n)_{n=N_0}^{\infty}$ donde la secuencia $(a_n)_{n=N_0}^{\infty}$ es Cauchy y está acotado negativamente lejos de cero (lo que hace que $y$ negativo).

Ahora supongamos que la afirmación es falsa.

Entonces, para todos los $N$ Debe haber algún tipo de $n1, n2\geq N$ tal que $a_{n1}>c>0$ y $a_{n2}<-c<0$ . Fijar el $N_1$ tal que para todo $n, m\geq N_1$ , $|a_n-a_m|<c/2$ . Pero entonces nuestro mencionado $n1$ y $n2$ nos da una contradicción, ya que $a_{n1}-a_{n2}>2c$ .

Esto demuestra la afirmación 1.

Por lo tanto, por el lema 1, $y=LIM (a_n)_{n=N}^{\infty}$ donde la secuencia $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ está acotado positivamente lejos de cero.

b) Supongamos ahora que $y$ no es positivo. Demostraremos que $y$ debe ser negativo. [La prueba de esto es similar a la de]

Así que ahora sabemos que cualquier $y$ debe ser al menos uno de los siguientes: positivo, negativo, cero.

2) Ahora queremos mostrar $y$ no puede ser más que una de nuestras tres opciones.

a) En primer lugar, si $y=0=LIM b_n$ entonces para cualquier $c>0$ existe $N$ tal que para todo $n \geq N$ , $|b_n-0|=|b_n|<c$ . Así que si $y=0$ , $y$ no puede ser acotado lejos de cero, por lo que $y$ no puede ser positivo ni negativo.

b) Ahora, dejemos que $y$ sea positivo. Entonces existe un racional $c>0$ para que $y=LIM b_n$ para alguna secuencia $b_n>c$ . Desde $0=LIM 0$ y siempre tenemos $|b_n-0|>c>0$ las secuencias $(b_n)$ y $(0)$ no pueden ser equivalentes, por lo que $y$ es distinto de cero. Supongamos, por si acaso, que $y$ es tanto negativa como positiva. Entonces existe un racional $d>0$ tal que $y=LIM e_n$ para alguna secuencia tal que $e_n<-d$ para todos $n$ . Pero entonces tenemos $|b_n-e_n|>c+d>0$ para todos $n$ y así $b_n$ y $e_n$ no pueden ser secuencias equivalentes, una contradicción.

c) El caso en que $y$ es negativo imita a 2b).