¿Cuándo existe el límite$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^ky^l}{x^{2p}+y^{2q}}$?

Question

En este caso, $k,l,p,q\geq0$ y son enteros. He intentado la sustitución de $u=x^p$ e $v=y^q$ $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^ky^l}{x^{2p}+y^{2q}}=\lim_{(u,v)\to(0,0)} \frac{u^{k/p}v^{l/q}}{u^2+v^2}$$

A continuación, tenga en cuenta que $|u|<\sqrt{|u|^2+|v|^2}$ e $|v|<\sqrt{|u|^2+|v|^2}$. Así tenemos $$\bigg|\frac{u^{k/p}v^{l/q}}{u^2+v^2}\bigg|=\frac{|u|^{k/p}|v|^{l/q}}{|u|^2+|v|^2}<\frac{(|u|^2+|v|^2)^{k/(2p)+l/(2q)}}{|u|^2+|v|^2}$$ Por lo tanto, el límite es igual a $0$ cuando $\frac{k}{p}+\frac{l}{q}>2$. Tenemos que mostrar que de lo contrario, el límite no existe.

Si $\frac{k}{p}+\frac{l}{q}=2$, tomando el límite a lo largo de los ejes de los rendimientos de $0$ pero dejando $x^p=y^q$ da $$\frac{|u|^{k/p}|v|^{l/q}}{|u|^2+|v|^2}=\frac{|u|^{k/p+l/q}}{2|u|^2}\to\frac{1}{2}$$ así que el límite no existe.

Del mismo modo, si $\frac{k}{p}+\frac{l}{q}<2$, tomando el límite a lo largo de los ejes todavía rendimientos $0$, pero dejando $x^p=y^q$ da lugar $$\frac{|u|^{k/p}|v|^{l/q}}{|u|^2+|v|^2}>\frac{|u|^{2}}{2|u|^2}\to\frac{1}{2}$$ mostrando que el límite no existe.

No estoy seguro de si todos los pasos que he tomado son las correctas - especialmente algunas de las desigualdades como $(u,v)\to(0,0)$. También, para los dos últimos casos, no estoy exactamente seguro de si los valores absolutos en torno a $u$ e $v$ debería estar allí, o si debería haber dejado de $|x|^p=|y|^q$.

Answer 1

Deje $k,l,p,q\geq0$ ser números enteros. En primer lugar, tenga en cuenta que si $p$ o $q$ (o ambos) $0$, entonces el denominador enfoques $1$ o $2$. Si $k=l=0$, el numerador va a $1$, de lo contrario va a $0$. En todos estos casos, el límite existe claramente.

Ahora, vamos a $u=x^p$ e $v=y^q$, lo que da $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^ky^l}{x^{2p}+y^{2q}}=\lim_{(u,v)\to(0,0)} \frac{u^{k/p}v^{l/q}}{u^2+v^2}$$

A continuación, tenga en cuenta que $|u|<\sqrt{|u|^2+|v|^2}$ e $|v|<\sqrt{|u|^2+|v|^2}$. Así tenemos $$\bigg|\frac{u^{k/p}v^{l/q}}{u^2+v^2}\bigg|=\frac{|u|^{k/p}|v|^{l/q}}{|u|^2+|v|^2}<\frac{(|u|^2+|v|^2)^{k/(2p)+l/(2q)}}{|u|^2+|v|^2}$$ Podemos ver que si al $\frac{k}{p}+\frac{l}{q}>2$, el límite es igual a $0$. Ahora vamos a probar que si $\frac{k}{p}+\frac{l}{q}\leq2$ lo contrario, el límite no existe.

En el caso de $\frac{k}{p}+\frac{l}{q}=2$, tomando el límite a lo largo de los ejes de los rendimientos de $0$ pero dejando $x^p=y^q$ da $$\frac{|u|^{k/p}|v|^{l/q}}{|u|^2+|v|^2}=\frac{|u|^{k/p+l/q}}{2|u|^2}\to\frac{1}{2}$$ así que el límite no existe en este caso.

Del mismo modo, si $\frac{k}{p}+\frac{l}{q}<2$, tomando el límite a lo largo de los ejes todavía rendimientos $0$, pero dejando $x^p=y^q$ lugar con $|u|<1$ (desde $u\to0$) da $$\frac{|u|^{k/p}|v|^{l/q}}{|u|^2+|v|^2}>\frac{|u|^{2}}{2|u|^2}\to\frac{1}{2}$$ mostrando que el límite no existe en este caso.

Por lo tanto, el límite sólo existe cuando se $p$ o $q$ (o ambos) $0$ o al $\frac{k}{p}+\frac{l}{q}>2$.