Encontrar el diámetro de un círculo usando dos cuerdas y un ángulo entre ellos

Question

¿Es suficiente encontrar el diámetro de un círculo usando dos acordes de cruce arbitrarios con la longitud conocida de cada partición y el ángulo entre estos dos acordes? Si es posible, ¿cómo?

Answer 1

Si no sabe dónde se cruzan (es decir, en qué proporciones se dividen entre sí), entonces no.

Answer 2

Si usted conoce a cada uno de los tamaños de las particiones, entonces es solucionable. Primera vez que va a proporcionar el esquema de la prueba, a continuación, hacer modificaciones si desea ver toda la prueba.

Parte I. considerar dos primeros acordes de sólo cumplir en el círculo. Usted sabe que la longitud de ambos, y el ángulo entre ellos. calcular el radio es un sencillo ejercicio.

La parte II. Demostrar que por un paso extra de cálculo, de forma arbitraria cruzado acordes con los cuatro conocidos particiones son equivalentes para el caso anterior, por lo que es posible calcularlo.

Si solo sabes particiones en uno de los dos acordes, no se puede calcular el radio.

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Prueba: Voy a utilizar los siguientes lemas:

Lema 1: Si dos ángulos y sus lados en un triángulo es conocido, el triángulo es completamente conocido.

Lema 2: Si dos lados y su ángulo en un triángulo es conocido, el triángulo es completamente conocido.

Parte I:

Por el Lema 2, el triángulo ABC es completamente conocido. Sabemos $x = \angle ACB$, $z = \angle BAC$, $w = \angle ABC$ así como $a,b$ e $AB$. Desde $OA=OB$, $y$ es denotado. Por el Lema 1, si conocemos $y$ sabemos triángulo $AOB$ completamente. es decir, sabemos que el radio.

para el valor de $y$ nos articulaciones $OC$. nota $OB=OC=OA$. Así $$z+y = \angle ACO = x-\angle OCB = x- (w+y)$$

$z, x, w$ son de todos conocidos, así que $y$ está resuelto. Hecho para la parte I.

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Parte II:

Utilizando el resultado de la Parte I, vamos a hacer si conocemos $AB$ e $\angle ABD$ (equivalentemente, $\angle ABE$).

Estas dos cosas se obtienen de inmediato, como restringimos nuestra atención a triángulo $ABE$. Me dicen que este triángulo es completamente conocida por el Lema 2, ya sabemos $AE$, $BE$ así como el ángulo de $\angle AEB$. Hecho para la Parte II.

Diversión problema!

Answer 3

No porque un solo acorde y un segmento del otro, determinen un triángulo que determina un circuncírculo único en el que el segmento $CD$ debería ser un acorde en la figura adjunta.