¿Por qué los objetos coproducto son representaciones centrales de productos cartesianos, en lugar de representaciones de uniones disjuntas?

Question

Una forma de definir el producto de dos objetos es $A$ y $B$ en alguna categoría $\mathcal C$ es como una representación del functor contravariante $(\to A) \times (\to B)$ en $[\mathcal C^{\mathrm{op}}, Set]$ .

La definición análoga de los coproductos es como una representación del núcleo del functor covariante $(A \to) \times (B \to)$ en $[\mathcal C, Set]$ .

En particular, AFAICT uno no puede obtener productos pidiendo una presentación de núcleo de $(A \to) + (B \to)$ ni los coproductos pidiendo una representación de $(\to A) + (\to B)$ donde aquí estoy usando $+$ para denotar los coproductos.

Me parece curiosa esta asimetría, y mi principal pregunta es la del título. Sin embargo, esa pregunta es un poco amplia y vaga. Para ser un poco más específico, los aspectos de esta pregunta por los que siento especial curiosidad son:

1. ¿Qué son esos otros objetos? ((co)representaciones de $(A \to) + (B \to)$ ) ¿Están bien estudiados? O bien, ¿hay buenas razones para considerarlas aburridas e ignorarlas?
2. ¿De dónde viene la asimetría? Es casi como si $Set$ insiste en que $\times$ es "más primaria" que $+$ . Por supuesto, $Set^{\mathrm{op}}$ cantarán lo contrario, pero la situación me sigue pareciendo sorprendente. ¿Existe una buena intuición de por qué la forma "correcta" de pedir coproductos en categorías arbitrarias es equivalente a pedir una representación del núcleo de los productos de la teoría de conjuntos, en lugar de (digamos) una representación directa de los coproductos de la teoría de conjuntos?
3. Dada una construcción en $Set$ (como un producto o un coproducto o un exponencial), ¿qué determina si esa construcción va a ser "representable" o "corepresentable"? Por supuesto, podríamos probar ambos y ver cuál funciona y clasificar nuestras construcciones en consecuencia, pero ¿hay alguna forma de ver los productos y coproductos en $Set$ y aviso ab initio que los productos van a ser los "representados" y los coproductos los "representados"? (O bien, ¿cuáles son las palabras clave que debería buscar para leer sobre esto?)

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(lmn si debo ampliar más mi notación aquí. Tenga en cuenta que estoy siguiendo la convención de nlab cuando distinguir entre funtores representables y funtores corepresentables y que por ejemplo $(\to A) \times (\to B)$ Es decir $(X \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X, A) \times \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X, B))$ .)

Answer 1

Supongamos que tenemos, para algunos objetos $A$ y $B$ , un objeto $C$ tal que $(C,-)$ es naturalmente isomorfo a $(A,-)+(B,-)$ . Entonces la categoría en la que esto ocurre no puede tener un objeto terminal, ya que tal objeto, llámese $T$ tendría un solo elemento en $(C,T)$ pero dos en $(A,T)+(B,T)$ .

Más generalmente, cualquier functor de la forma $(C,-)$ conserva todos los productos que existen en su categoría. Así que $(A,-)+(B,-)$ tendría que conservar los productos, y esto conlleva muchos problemas ya que $(A,-)$ y $(B,-)$ individualmente también conservan los productos. De forma más general, tendrá un problema de conservación de los límites.

No estoy seguro de hasta dónde se puede llevar esta línea de razonamiento, pero ciertamente impide la existencia de tales objetos representativos $C$ en las categorías con las que la gente suele querer trabajar. (Por el momento, no se me ocurre ninguna categoría en la que tales $A,B,C$ existen, pero eso puede ser sólo una deficiencia de mi imaginación).

Answer 2

Los coproductos no siempre se parecen mucho a las uniones disjuntas; consideremos el coproducto de grupos, es decir, el producto gratuito . Más formalmente, hay una condición llamada disyuntiva que los coproductos pueden satisfacer, y no siempre lo hacen.

Puedes pensar en tu definición como un intento de formalizar la disyunción; desgraciadamente no funciona. Estás pidiendo un objeto $D$ tal que un morfismo $f : C \to D$ es un morfismo $C \to A$ o un morfismo $C \to B$ . Por desgracia, ni siquiera las uniones disjuntas satisfacen esta propiedad. No se espera este tipo de cosas a menos que $C$ es conectado en algún sentido (digamos que es un espacio topológico conectado en $\text{Top}$ o un gráfico conectado en $\text{Graph}$ ); en general alguna parte de $C$ puede asignarse a $A$ y alguna otra parte puede asignarse a $B$ .

No obstante, esta idea tiene su razón de ser; es una forma de intentar formalizar una tipo de suma es decir, un tipo cuyos términos son términos de algún tipo $A$ o algún otro tipo $B$ . Desde esta perspectiva no es obvio que los tipos de suma tengan algo que ver con los coproductos; me gustaría entender esto mejor de lo que lo hago.

Una definición que parece estar relacionada con la reducción de esta brecha es la noción de categoría extensa .

Answer 3

La propiedad universal de los productos da una correspondencia $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, A) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, B) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, A \times_{\mathcal{C}} B)$$ mientras que la propiedad universal de los coproductos da una correspondencia $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(A, Y) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(B, Y) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(A \sqcup_{\mathcal{C}} B, Y).$$ (donde estoy usando $\sqcup$ para denotar los coproductos, ya que prefiero reservar $+$ para los biproductos). Tenga en cuenta que el producto $\times$ a la izquierda de esas ecuaciones es un producto de conjuntos hom, en lugar de un producto en la categoría $\mathcal{C}$ . Este producto de hom-sets coincide con el producto en las categorías de funtores $[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$ y $[\mathcal{C}, \mathsf{Set}]$ por lo que sólo aparece el producto y no el coproducto.

Para pedir un objeto de representación para $(\to A) \sqcup (\to B)$ sería pedir una construcción natural $(A, B) \to A \bullet_{\mathcal{C}} B$ tal que existe una correpsondencia natural $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, A) \sqcup \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, B) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, A \bullet_{\mathcal{C}} B)$$ que es una condición extraña en algunas categorías (por ejemplo, en $\mathcal{C} = \mathsf{Set}$ , pedimos mapas $X \to A \bullet B$ para corresponder bijetivamente a un morfismo $X \to A$ o un morfismo $X \to B$ ).