Ecuaciones paramétricas - es mi respuesta correcta.

Question

Encuentre todos los valores de $a$ para los cuales la ecuación $$ (a-1)4^x + (2a-3)6^x = (3a-4)9^x $ $ solo tiene una solución.

Tengo dos casos, uno cuando $a = 1$ y otro cuando discriminamos $= 0$ .
Las respuestas que recibo son $a =1; a=0,5$ .
Dado que no tengo las respuestas, sb podría decirme si estoy en lo cierto.

Answer 1

Escribir $t=3^x/2^x>0$, luego tenemos a $$(a-1)+(2a-3)t=(3a-4)t^2$$

Caso $a={4\over 3}$ entonces la ecuación es lineal, por lo $$t= {1-a\over 2a-3}=1\implies \Big({3\over 2}\Big)^x= 1 \implies x=0$$

Caso $a\ne {4\over 3}$ entonces la ecuación es cuadrática, por lo que tenemos dos subcases

• El discirminat es $0$: $$(2a-3)^2+4(3a-4)(a-1)=0$$ , que es el mismo como $$(4a-5)^2 =0$$ so $a={5\más de 4}$. In this case we get $t=1$ de nuevo.
• El discirminat es $>0$ entonces tenemos dos soluciones $t_1,t_2$ y si queremos tener exactamente a uno, entonces uno debe ser positivo y otro negativo, por lo $$t_1\cdot t_2 <0\implies {1-a\over 3a-4}<0 \implies a\in (-\infty, 1]\cup [{4\over 3},\infty)\cup\{{5\over 4}\}$$ (Última desigualdad obtenemos a partir de las fórmulas de Vieta.)

Answer 2

Aquí hay otra manera de solucionar esto.

Deje $t=2^x/3^x>0$, entonces tenemos $$a(t^2+2t-3) = t^2+3t-4$$ so $$a(t+3)(t-1)=(t+4)(t-1)$$

A continuación, para cada una de las $a$ número $t=1$ es decir $x=0$ es una solución. Decir $t\neq 1$, a continuación, $$a ={t+4\over t+3}\implies a\in (1,{4\over 3})$$

Así, para cada $a\in (1,{4\over 3})$ tenemos otra solución, por lo $$\boxed{a\in (-\infty, 1]\cup [{4\over 3},\infty)}$$

---

Ejemplo, si $a=2$ obtenemos $$2\cdot 9^x = 4^x+6^x\implies t\in\{1,-2\}$$

Pero $t>0$ tan sólo tenemos 1 solución.