Convergencia de$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(\theta k)}{\sqrt{k}}$

Question

Di si la siguiente serie

PS

para $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(\theta k)}{\sqrt{k}} $ es convergente. ¿Es absolutamente convergente?

No sé cómo abordar este problema. Cualquier sugerencia será muy apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Para $\theta = \pi$ la serie $$ \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos (\ theta k)} {\ sqrt {k}} = \ sum_ {k = 1} ^ { \ infty} \ frac {(- 1) ^ k} {\ sqrt {k}} $$ es convergente (alterna la prueba en serie), pero no es absolutamente convergente.

Answer 2

Si $\theta$ es un múltiplo de $\pi$, la serie diverge por la integral de la prueba. Si $\theta$ es $1$ o de un extraño múltiples de $\pi$, la serie converge por la alternancia de la serie de prueba. De lo contrario,

$\left|\sum^{n-1}_{k=1}\cos k\theta\right|=\left|\frac{\sin\frac{n}{2}\theta}{\sin\frac{1}{2} \theta}\cos \left((n-1)\frac{1}{2}\theta\right)-1\right|\le \left|\left(\sin\frac{\theta}{2}\right)^{-1}+1\right|$

así que la serie converge por Dirichlet del criterio. Pero la serie no converge absolutamente:

set $f(x)=|\cos \theta x|+|\cos \theta (x+1)|.$ a Continuación, $f$ es no-negativa continua en $[0,\pi]$. De hecho no es cero no porque si es así, entonces cada una de las $|\cos \theta x|$ e $|\cos \theta (x+1)|$ tendría que ser cero, por lo $\theta x$ e $\theta(x+1)$ tendría que ser un múltiplo de $\pi/2$, lo $\theta$ sería un múltiplo de $\pi/2$, pero hemos excluido ese caso. Por lo tanto, por la compacidad, no es un número real $c$ tal que $f>c>0$ a $[0,\pi]$, por lo tanto en todas partes.

Tenemos a continuación

$\sum^{2n}_{k=1}\frac{|\cos \theta k|}{\sqrt k}\ge \sum^{2n}_{k=1}\frac{|\cos \theta k|}{k}= \sum^{n}_{k=1}\frac{|\cos \theta (2k-1)|}{2k-1}+\frac{|\cos \theta (2k)|}{2k}=\sum^{n}_{k=1}\frac{|\cos \theta (2k-1)|+|\cos \theta (2k|}{2k}\ge \sum^{n}_{k=1}\frac{c}{k},$

que diverge.