Calcula

Question

Calcular $\lim\limits_{n\to \infty} \left(n^3 \int_{n} ^{2n}\frac{x dx} {1+x^5}\right) $ . Intenté aplicar el primer teorema del valor medio para las integrales definidas y luego aplicar el teorema de compresión, pero no funcionó. La respuesta dada por el libro es $\frac{7}{24}$ , pero no puedo ver cómo llegar a él.

Answer 1

PS

Poner $$\lim\limits_{n\to \infty} \left(n^3 \int_{n} ^{2n}\frac{x dx} {1+x^5}\right) $ y $x=nt$

PS

PS

Answer 2

Sugerencia :

Reescriba esta expresión como $$ \frac{\displaystyle\int_{n} ^{2n}\frac{x\,\mathrm dx} {1+x^5}}{\dfrac 1{n^3}}$ $ y aplique la regla de L'Hospital.

Para ello, debe establecer $$f(y)=\int_{0} ^{y}\frac{x\,\mathrm dx} {1+x^5}$ $ y calcular la derivada de la función $g(y)=f(2y)-f(y)$ con el primer teorema fundamental del cálculo integral.

Por último, deberás tener un equivalente de $g'(n)$ .

Answer 3

Para $x \in [n,2n]$:

$\dfrac{x}{x^5(1+(1/n)^5)}\le \dfrac{x}{1+x^5} \le \dfrac{x}{x^5(1+(1/2n)^5)}$

Integrar el límite inferior:

$L(n):=\dfrac{1}{1+(1/n)^5}\displaystyle{ \int_{n}^{2n}}x^{-4}=$

$\dfrac{1}{1+(1/n)^5}(x^{-3}/(-3))\big ]^{2n}_{n}=$

$\dfrac{1}{1+(1/n)^5}(1/3)(1/n^3-1/(2n)^3)$=

$\dfrac{1}{1+(1/n)^5}\dfrac{7}{24n^3};$

Integrar el límite superior:

$U(n):=\dfrac{1}{1+(1/2n)^5}\dfrac{7}{24n^3}$.

Ahora considere la posibilidad de

$n^3 L(n)\le n^3\displaystyle{\int_{n}^{2n}}\dfrac{x}{1+x^5}dx \le n^3U(n).$

Tomar el límite de $n \rightarrow \infty$.

Answer 4

Debemos comenzar por señalar que

$$ 0 \leq \int_n^{2n}\frac{x}{1+x^5}dx\leq \int_n^{2n} \frac{x}{1+x^4} dx=\left[\frac 12 \arctan(x^2)\right]_n^{2n}=\frac 12 (\arctan(2n)-\arctan n) \a 0. $$

Esto justifica que podemos aplicar la regla de L'Hôpital llegar

$$ \lim n^3 \int_n^{2n}\frac{x}{1+x^5}dx = \lim \frac{\int_n^{2n}\frac{x}{1+x^5}dx}{\frac{1}{n^3}} = \lim \frac{2 \cdot \frac{2n}{1+(2n)^5}-\frac{n}{1+n^5}}{\frac{-3}{n^4}} = \frac{4}{-3 \cdot 32}- \frac{1}{-3 \cdot 1}=\frac{7}{24}. $$