¿Cuándo $f(x)=f(\alpha x) = f(\beta x)$ en $(0,\infty)$ implican que $f$ es constante?

Question

Dejemos que $f:(0,\infty)\to \Bbb R$ sea una función continua y $\alpha,\beta>0$ sean dos números reales fijos.

¿En qué condiciones en $\alpha$ y $\beta$ podemos deducir que $f$ es una función constante si sabemos que $$ f(x)=f(\alpha x) = f(\beta x)? $$

Me he dado cuenta de que si $\alpha$ es una potencia entera de $\beta$ entonces la afirmación no es cierta. En efecto, para $\alpha=4,\beta=2$ la función $$ f(x) = \sin(2\pi \log_2(x)) $$ proporciona un contraejemplo.

Creo que si $\frac{\log\alpha}{\log\beta}\in \Bbb R\backslash\Bbb Q$ entonces la afirmación debería ser válida. Por ejemplo, creo que es probable que $f(x)=f(2x)=f(3x)$ implica $f$ es constante, pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Escribir $g(x)=f(e^{x})$ podemos reducir el problema a lo siguiente: si $a$ y $b$ (distinto de cero) son períodos de una función continua $g$ en qué condiciones podemos decir $g$ es una constante. La respuesta es $a/b$ es irracional. Por lo tanto, la respuesta a la presente pregunta es $f$ es una constante si $\frac {\log \, \alpha} {\log\, \beta}$ es irracional.