Demostrar que si y sólo si .

Question

Pregunta-Demostrar que $6|a+b+c$ si y sólo si $6|a^3 +b^3+c^3$

Yo estaba jugando con las fórmulas

$$(a+b+c)^3=a^3 +b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$$ y,

$$a^3 +b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

y señaló que si $(a+b+c)\equiv0$(mod 6)$\implies a^3 +b^3+c^3\equiv3abc$(mod 6). Ahora no estoy seguro de cómo mostrar $3abc\equiv 0$(mod6), e incluso haciendo eso, sólo tenemos la mitad de la prueba, porque entonces tenemos que demostrar que lo contrario también es cierto.

Answer 1

Dado que $x^3\equiv_3 x$ para cada entero $x$ tenemos $$3|a+b+c \iff a+b\equiv_3 -c$$ $$\iff (a+b)^3\equiv_3 (-c)^3

PS

PS

Answer 2

Insinuación:

$$a^3-a=(a-1)a(a+1)$$ is divisible by $6$ es el producto de tres enteros consecutivos

PS

Answer 3

Ahora, use que $a+b+c$ es un número par.

¿Puedes terminarlo ahora?

Answer 4

Entre $a$ , $b$ , $c$ hay al menos dos números pares o impares. En cualquier caso, $(a+b)(b+c)(c+a)$ es par.