Tengo esta expresion
$$ ψ (χ) = A \ sin ^ 3 (\ frac {πχ} {α}) $$
Y de alguna manera el libro que leí iguala la ecuación anterior a esta:
$$ ψ (χ) = \ frac {A} {4} [3 \ sin (\ frac {πχ} {α}) - \ sin (\ frac {3πχ} {α})] $$
¿Qué identidad trigonométrica se utilizó para hacer esto posible?
La identidad es $$\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin(3x)}{4}$ $ Prueba: \begin{align*} 4\sin^3x-3\sin x &= \sin x(4\sin^2x-3) \\ &=\sin x(1-4\cos^2x) \quad \text{Pythagorean identity} \\ &=\sin x(2\cos^2x-\cos(2x)-4\cos^2x) \quad \text{Double angle cosine} \\ &=-\sin x(2\cos^2x+\cos(2x)) \\ &=-[(2\sin x\cos x)\cos x+\sin x\cos(2x)] \\ &=-[\sin (2x)\cos x+\sin x\cos(2x)]\quad \text{Double angle sine} \\ &=-\sin (2x+x)\quad \text{identity sum sine} \\ &=-\sin(3x) \end {align *}
Por la identidad de DeMoivre,
$\cos(3x)+i\sin(3x)=(\cos(x)+i\sin(x))^3=$
$\cos^3(x)+3i\cos^2(x)\sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-i\sin^3(x)$ .
Agrupando los términos imaginarios juntos, vemos que $\sin(3x)=3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)$ .
Podemos reescribir $3\cos^2(x)\sin(x)$ como $3\sin(x)(1-\sin^2(x))$ , lo que nos da $\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)$ .
Finalmente, podemos escribir $\sin^3(x)=\frac{1}{4}(3\sin(x)-\sin(3x))$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
