Divisor no cero en el anillo de cociente: ¿No es una unidad sobre primos mínimos?

Question

Creo que necesito un poco de ayuda con un básico de álgebra conmutativa pregunta: Supongamos que tenemos un Noetherian integral de dominio $A$ (también podemos suponer que $A$ es $K$-álgebra de finito tipo, aunque no creo que esto es necesario aquí).

Ahora vamos a $f,g$ dos distinto de cero elementos en $A$, de tal manera que el cociente $A/(f,g) \neq 0$ que $g$ es un no-cero-divisor por el cociente $A/(f)$ (es decir, el par $f,g$ formas una secuencia regular).
Ahora podemos tomar cualquier mínimo el primer ideal $\mathfrak p \subseteq B := A/(f)$ y considerar el dominio $B/\mathfrak p$. Me pregunto si podemos demostrar que

1.) El elemento $g$ en $B / \mathfrak p$ no es cero, y
2.) El elemento $g$ en $B/\mathfrak p$ no es una unidad.

Puedo confirmar que la primera declaración, porque si $g \in \mathfrak p$, a continuación, $g$ es un cero divisor a $A/(f)$ (como en Noetherian anillos, un mínimo de primer ideales constar de cero-divisores), contradiciendo la suposición.

No estoy seguro, sin embargo, si la segunda sentencia tiene que ser cierto. Sería muy bueno si alguien pudiera ayudar! Muchas gracias de antemano!

EDIT: UNA rápida adición (todavía tengo que pensar). Si la segunda afirmación no es cierta en general, hay algunos mínimo el primer ideal de $B$ tal que $g$ no es una unidad? (Esto debe ser cierto, porque de lo contrario $g$ se encuentra en ningún primer ideal de $A/(f)$, por lo tanto $A/(f,g) = 0$, en contradicción con la primera suposición.)

Answer 1

Esto no es cierto. Por ejemplo, supongamos $k$ ser un campo, vamos a $A=k[x,y]$, y deje $f=xy$, $g=x+1$. A continuación, $\mathfrak{p}=(x)$ es un mínimo primer contengan $f$ pero $g$ es una unidad de mod $\mathfrak{p}$.

Es cierto que siempre hay un mínimo de primer mod que $g$ no es una unidad, por la razón que dices: cada unidad es en algunos máxima ideal y por lo tanto no es una unidad mod mínimo el primer contenidas en la que el máximo ideal.

Un poco más ampliamente, dejando $X=\operatorname{Spec} B$, para decir que $g$ no es un divisor de cero en $B$ significa que no se desvanecen de forma idéntica en cualquier componente irreducible de $X$, a decir $B/(g)$ es distinto de cero significa que $g$ se desvanece en algún punto de $X$, y decir que $g$ es una unidad mod mínimo prime $\mathfrak{p}$ significa que $g$ no se anula en ningún punto de la irreductible componente correspondiente a $\mathfrak{p}$. Por lo tanto, puede tomar una función en $X$ que no desaparece del todo en uno de la irreductible de los componentes, pero no hace desaparecer en algún lugar (pero no idéntica) en otro componente irreducible, y que va a dar un contraejemplo a su pregunta.