Resolución de un límite de integral con L'Hopital

Question

Tengo este límite: $\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{1}{x}\int_{0}^x \dfrac{1}{2+\cos(\mathrm t)}\, \mathrm{dt}$

He dicho que

Editar: $-1\leq \cos\mathrm{t}\leq 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2+\cos\mathrm{t}} > 0 \text{ and because that expression has no limit as x -> inf}\\\Rightarrow \displaystyle \int_{0}^x \dfrac{1}{2+\cos\mathrm{t}}\, dt \to \infty \\ \\ \Rightarrow \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\displaystyle\int_{0}^x \dfrac{1}{2+\cos\mathrm{t}}\,\mathrm{dt}}{x} = \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\Big( \displaystyle\int_{0}^x \dfrac{1}{2+\cos \mathrm{t}}\, \mathrm{dt}\Big)'}{x'} = \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{2+\cos \mathrm{x}}}{1} = \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{1}{2+\cos \mathrm{x}}$

Pero aquí me he atascado porque ese límite no existe, porque el cos x no tiene límite cuando x va al infinito.

Pero la respuesta correcta es $\dfrac{1}{\sqrt 3}$ ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align} \int^{2\pi n}_0 \frac{dt}{2+\cos t} = n \int^{2\pi}_0 \frac{dt}{2+\cos t} \end{align} lo que significa \begin{align} \frac{1}{2\pi n}\int^{2\pi n}_0 \frac{dt}{2+\cos t} = \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi }_0 \frac{dt}{2+\cos t}. \end{align}

Por lo tanto, \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi n}\int^{2\pi n}_0 \frac{dt}{2+\cos t}= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi }_0 \frac{dt}{2+\cos t}= \frac{1}{\sqrt{3}}. \end{align}

Esto sugiere que \begin{align} \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x}\int^x_0 \frac{dt}{2+\cos t} = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align} si el límite existe.

Para demostrar que el límite existe, observemos que tenemos que \begin{align} \left|\frac{1}{x}\int^{x}_0 \frac{dt}{2+\cos t}- \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 \frac{dt}{2+\cos t}\right| =&\ \left|\frac{1}{2\pi n+r}\int^{2\pi n+r}_0 \frac{dt}{2+\cos t}- \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 \frac{dt}{2+\cos t}\right|\\ =&\ \left|\frac{n}{2\pi n+r}-\frac{1}{2\pi}\right|\int^{2\pi}_0\frac{dt}{2+\cos t}+ \frac{1}{2\pi n+r}\int^{r}_{0} \frac{dt}{2+\cos t} \end{align} donde $0\le r< 2\pi$ . Entonces, como $n\rightarrow \infty$ obtenemos el resultado deseado.

Answer 2

Utilice el hecho de que $\cos x$ es periódica de periodo $2\pi$ (según un comentario).

Por lo tanto, sólo estamos obteniendo el área media en un intervalo de longitud $2\pi$ .

Usando Wolfram alpha, por ejemplo, obtenemos $\int_0^{2\pi}\dfrac 1{2+\cos x}\operatorname dx=\dfrac {2\pi}{\sqrt3}$ .