Demuestra que la desigualdad de Hardy es la desigualdad.

Question

Supongamos $n$ es un entero positivo, $2n$ reales $x_i, y_i (1\le i \le n) $ satisfacer $$\sum_{i=1}^n x_i^2 = \sum_{i=1}^n y_i^2 = 1.$$ positivo reales $0 < \lambda_1 \le \lambda_2 \le ... \le \lambda_n, \ 1 \in [\lambda_1, \lambda_n].$ Demostrar que $$\lambda_1 \le \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i^2 + \left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 - \frac{(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_iy_i)^2}{\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^2} \le \lambda_n.$$

Parece más fuerte que la de Cauchy-Schwarz desigualdad. $$\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x^2_{i}\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}y^2_{i}\ge (\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}y_{i})^2$$

Idear 2: trato de usar De Pólya-Szegö la desigualdad, tenemos para $0 < m_1 \leqslant u_k \leqslant M_1$ e $0 < m_2 \leqslant v_k \leqslant M_2$, $$\left(\sum u_k^2 \right) \left( \sum v_k^2 \right) \leqslant \frac14 \left( \sqrt{\frac{M_1 M_2}{m_1m_2}} + \sqrt{\frac{m_1 m_2}{M_1 M_2}} \right)^2 \left( \sum u_k v_k\right)^2$$

Pero yo no puedo.Gracias

Answer 1

Aquí es un resultado de la izquierda de la desigualdad.

El recuerdo de la clásica prueba de Cauchy-Schwartz-la desigualdad, que no existe la igualdad $$ \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_iy_i)^2}{\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^2} = \sum_{i=1}^n \lambda_i \left[ x_i - un y_i \right)^2 $$ con $$ a = \frac{\sum_{i=1}^n\lambda_ix_iy_i}{\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^2} $$

Por tanto, la demanda puede ser reescrita como: $$ \lambda_1 \le \sum_{i=1}^n \lambda_i \left[ x_i - un y_i \right)^2 + \left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \le \lambda_n. $$

Para la izquierda de la desigualdad, se nota que $\lambda_1 \le 1$ e $\lambda_1 \le \lambda_i$, por lo tanto, es suficiente para mostrar: $$ 1 \le \sum_{i=1}^n \left[ x_i - un y_i \right)^2 + \left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \\ = \sum_{i=1}^n \left[ x_i^2 - 2 un x_iy_i + a^2y_i^2\right] + \left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \\ =1 + a^2 -2a \sum_{i=1}^n x_iy_i +\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \\ =1 + (a - \sum_{i=1}^n x_iy_i )^2 $$ y esto establece la izquierda de la desigualdad.

Por el derecho de la desigualdad tenemos $\lambda_n \ge 1$ e $\lambda_n \ge \lambda_i$, sin embargo, no podemos aplicar el mismo razonamiento, ya que sólo se estableció que el "centro" de la parte $\ge 1$. Además, todos los revertir las desigualdades (Pólya-Szegö la desigualdad y similares) necesidad positiva de los límites superior e inferior en las secuencias $x_i$ e $y_i$ donde solo sabemos $x_i, y_i \le 1$. Por lo que en ausencia de resultados positivos de los límites inferiores, no veo cómo estas desigualdades se pueden aplicar aquí.