Cuestión de estabilidad de Lyapunov (Arnold ' trivium s)

Question

V.I. Arnold formular la siguiente pregunta en su matemática trivium:

¿Puede una posición de equilibrio asintóticamente estable ser inestable en el sentido de Lyapunov en linealización?

Había me había desconcertado por un tiempo, ya que mi experiencia no incluye este caso patológico - pero todavía no estoy seguro sobre este.

Answer 1

Para el sistema de $dx/dt=y-x^3$, $dy/dt=-y^3$, el origen es un asintóticamente estable de equilibrio. (Es incluso a nivel mundialde la atracción,de como puede ser visto por dibujar el retrato de fase con la ayuda de la nullclines $y=x^3$$y=0$.)

El sistema linealizado en el origen es $dx/dt=y$, $dy/dt=0$, que no es de Lyapunov estable: la solución de partida en $(x_0,y_0)=(0,\epsilon)$ es $(x(t),y(t)) = (\epsilon t, \epsilon)$, que va hasta el infinito si $\epsilon \neq 0$.

La matriz correspondiente para el sistema linealizado es $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, que tiene cero como un autovalor doble. Si ambos valores propios tienen parte real distinto de cero, entonces el sistema linealizado determina la estabilidad el sistema original. Si los valores propios son $\pm c i$ (para algunos de los verdaderos $c \neq 0$), luego el sistema linealizado es un centro neutral (de ahí Lyapunov estable). Así que el fenómeno en cuestión sólo puede ocurrir si al menos un autovalor es cero. (Realmente no he pensado acerca de lo que puede o no suceder en el caso de una cero autovalor y un real distinto de cero autovalor.)

Answer 2

(sin prueba)

• Linealizado del sistema tiene un autovalor en el eje imaginario => no la conclusión puede ser hecho.
• Linealizado del sistema sólo autovalores en abrir a la izquierda complejo halfplane => no lineal del sistema asympt. estable.
• Linealizado del sistema de al menos un autovalor en el derecho complejo
  la mitad de avión => no lineal sistema inestable

por lo tanto, se puede concluir: una asymptotical nonlin. sys. después de linealización puede ser inestable si usted obtiene valores propios en el eje imaginario con multiplicidad algebraica > multiplicidad geométrica