Prueba

Question

Me he encontrado con una pregunta:

Probar $$-\frac{1}{a}<\int_a^b \sin(x^2) dx<\frac{1}{a}$$

Hay un montón de soluciones a $\int_0^{\infty} \sin(x^2) dx$ online, pero parece ser que no hay solución para el límite de $\int_a^b \sin(x^2) dx$.

Podría alguien ayudarme con esto por favor? Traté de calcular la integral directamente, pero no puedo cancelar, b y obtener un límite sólo con $a$.

La aplicación de la desigualdad para el integrando $\sin(x^2)<x^2$ no funciona bien.

Answer 1

Al cambiar las variables $u=x^2$ , tenemos $\displaystyle{\int_{a}^{b}\sin(x^2)\,{\rm d}x=\frac{1}{2}\int_{a^2}^{b^2}\frac{\sin(u)}{\sqrt{u}}\,{\rm d}u}$ .

Ahora, por integración por partes tenemos $$\int_{a^2}^{b^2}\frac{\sin(u)}{\sqrt{u}}\,{\rm d}u=-\int_{a^2}^{b^2}\frac{1}{\sqrt{u}}{\rm d}(\cos u)=\frac{\cos(a^2)}{a}-\frac{\cos(b^2)}{b}-\frac{1}{2}\int_{a^2}^{b^2}\frac{\cos u}{u^{3/2}}{\rm d}u$ $

Ahora, tenga en cuenta que $$\left|\frac{\cos(a^2)}{a}\right|\leq \frac{1}{a},$$ $$\left|\frac{\cos(b^2)}{b}\right|\leq \frac{1}{b}$$ and $$\frac{1}{2}\left|\int_{a^2}^{b^2}\frac{\cos u}{u^{3/2}}{\rm d}u\right|< \frac{1}{2}\int_{a^2}^{b^2}\frac{1}{u^{3/2}}{\rm d}u=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}.$ $

Por lo tanto, $\displaystyle{\left|\int_{a^2}^{b^2}\frac{\sin(u)}{\sqrt{u}}{\rm d}u\right|<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{2}{a}}$ . Concluimos $$\left|\int_{a}^{b}\sin(x^2)\,{\rm d}x\right|=\frac{1}{2}\left|\int_{a^2}^{b^2}\frac{\sin(u)}{\sqrt{u}}{\rm d}u\right|<\frac{1}{a} $ $