$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots}}}\;\;(\text{mod}\;p)$

Question

Fijar un número entero $a$ y un primo $p$ .

Definir $$S(a,p)=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots}}}\;\;(\text{mod}\;p)$$ para ser el conjunto de todos los enteros $x\in\{0,...,p-1\}$ tal que, para algún número entero positivo $n$ , $$x\equiv \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots + \sqrt{a+x}}}}\;\;(\text{mod}\;p)$$ con exactamente $n$ radicales, y donde cada raíz cuadrada se evalúa como una raíz cuadrada modular válida.

Algunos ejemplos: \begin{align*} S(2,29)&=\{2,3,4,5,7,14,18,20,21,23,28\}\\[4pt] S(3,11)&=\{0,1,6,8,9\}\\[4pt] S(4,23)&=\{0,2,8,12,14,19\}\\[4pt] S(5,7)&=\{4\}\\[4pt] \end{align*} Basándome en los datos de la muestra, plantearé dos conjeturas . . .

Conjetura $(1)$ :

$\qquad$$ S(a,p)\N-ne{grande{varnothing}} para todos $a,p$ .

Conjetura $(2)$ :

$\qquad$ Si $x\in S(a,p)$ entonces $x$ satisface $$x\equiv \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots + \sqrt{a+x}}}}\;\;(\text{mod}\;p)$$ $\qquad$ con un máximo de $p-1$ radicales.

Preguntas:

• ¿Puede alguien probar o refutar alguna de las conjeturas? $\\[4pt]$
• Por lo demás, ¿hay alguna intuición a favor o en contra de alguna de las dos conjeturas?

Actualización:

Ya no estoy seguro de las conjeturas $(1)$ ya que se basaba en datos de muestra defectuosos.

Además, como se señala en los comentarios, las conjeturas $(2)$ sólo es válida para los primos Impares $p$ pero el límite superior es demasiado alto.

Tuve un error en mi programa perdón por los errores.

Creo que la idea de las raíces cuadradas modulares iteradas tiene potencial para algunas exploraciones interesantes, así que dejaré la pregunta por ahora.

Con suerte, después de corregir mi programa, podré plantear conjeturas revisadas que sean coherentes con los datos de la muestra.

Actualización # $2$ :

Bien, mi programa ya está corregido.

Conjetura $(1)$ se ve bien, pero veo que ahora se ha probado.

Como se ha señalado anteriormente, asumiendo $p$ es impar, conjetura $(2)$ Aunque es cierto, es demasiado débil.

Gracias a todos por los comentarios y las respuestas.

Answer 1

Dejar $f_{a,p} : \Bbb Z/p\Bbb Z \to \Bbb Z/p\Bbb Z $ dado por $f(x) = x^2-a$ .
Entonces $x \in S(a,p)$ si y sólo si hay algún $n$ tal que $f_{a,p}^{\circ n}(x) = x$ ,.

Dibuja un gráfico donde los vértices son los elementos de $\Bbb Z/p\Bbb Z$ y donde hay una flecha de $x$ a $f_{a,p}(x)$ . Entonces $S(a,p)$ es el conjunto de vértices que son partes de ciclos.

Iterando $f_{a,p}$ en cualquier elemento termina finalmente en un ciclo, por lo que $S_{a,p}$ no está vacío.

Si $p=2$ entonces $S(a,p)$ es una biyección por lo que cada elemento es parte de un ciclo.

Si $p \neq 2$ , entonces cada elemento $x \neq -a$ tiene $0$ o $2$ preimágenes $y_1,y_2$ y sólo uno de ellos puede formar parte de un ciclo (ya que $x$ sólo puede aparecer una vez en el ciclo tendrá $\ldots \to y_1 \to x \to \ldots$ o $\ldots \to y_2 \to x \to \ldots$ ), por lo que $S(a,p)$ tiene como máximo $(p+1)/2$ elementos (por lo que las longitudes de los ciclos pueden ser como máximo $(p+1)/2$ )

Answer 2

Esto, por ahora en más como un comentario extendido (respondiendo a la conjetura 2, pero no del todo a la conjetura 1.)

Sólo copio aquí algunas de mis observaciones de los comentarios. Creo que ambas conjeturas son ciertas, excepto quizás la del límite $p-1$ cuando $p=2$ (pero no me importa mucho esta excepción y no he pensado en detalle sobre ella).

Si $x\in S(a,p)$ donde $p$ es un primo impar, entonces hay una cadena de a lo sumo $(p+1)/2$ radicales. Esto se debe a que hay como máximo $(p+1)/2$ residuos cuadráticos $\mod p$ por lo que si la cadena fuera más larga debería haber alguna repetición en ella, por lo que se podría acortar la cadena. Esto demuestra que la conjetura 2 es correcta para los primos Impares $p$ ya que en este caso $(p+1)/2\le p-1$ .

Respecto a la conjetura 1, también es cierta. Empezar con cualquier $x_0$ e iterar $x_{n+1}=\sqrt{a+x_n}$ ... Sin embargo, veo una laguna en mi argumento. Suponiendo que la raíz cuadrada "existe con suficiente frecuencia", entonces habrá alguna repetición en esta cadena, es decir $x_m=x_{m+k}$ para algún número entero positivo $k$ , demostrando que $x_m\in S(a,p)$ . Pero tengo que pensar en la raíz cuadrada "existe a menudo" parte de mi "respuesta"

Editar. Aah, mercio publicó una respuesta, hay un ciclo. No hay que preocuparse por la existencia de la raíz cuadrada, ya que se podría encontrar un ciclo para la función cuadrada (en lugar de para la función raíz cuadrada), y una vez que tenemos un ciclo para la función cuadrada, entonces también es un ciclo para la función raíz cuadrada, obviamente, si caminamos en la dirección opuesta. (Más exactamente, no es exactamente la función cuadrada, sino $f(x)=x^2-a$ como en la respuesta de mercio, como también observó un poco más tarde Jyrki Lahtonen en los comentarios).