Problema de independencia: una torre y el número máximo de caballeros en el tablero de ajedrez$8 \times 8$

Question

En el tablero de ajedrez $8 \times 8$ podemos colocar una torre y varios caballeros. Encontrar el máximo número de caballeros, que pueden ser colocadas en un tablero de ajedrez, junto con una torre, de modo que ninguna de las piezas de ataque de cada uno de los otros.

De mi trabajo. Si la torre se coloca en una plaza a8, entonces podemos colocar la $25$ caballeros en todos los cuadrados blancos que la torre no de ataque. No sé cómo demostrar que $25$ es el máximo número de caballeros.

Answer 1

De hecho, estoy publicando esto para dar una idea ya que no creo que esta respuesta se ha completado.

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A continuación es el tablero de ajedrez con su torre de colocar. Ahora, vamos a dividir el resto de la junta en $4$ pequeñas tablas de la siguiente manera:

Ahora, podemos ver que para $3 \times 3$ parte, la máxima es la colocación de con $5$ caballeros, que podemos comprobar incluso tratando todos los casos (pero la colocación no es única). Para $3 \times 4$ partes, la máxima es la colocación de con $6$ caballeros, pero esta colocación puede no colocar todos los $6$ a los caballeros de blanco o negro cuadrados. Pero no nos importa por ahora. Para $4 \times 4$ parte, la máxima es la colocación de con $8$ caballeros. Voy a probar esta aquí, ya que la prueba la idea será útil para nosotros más tarde:

Supongamos por contradicción que podemos colocar $9$ a los caballeros de la $4 \times 4$ junta. A continuación, nos vamos a dividir la pizarra en dos como en el siguiente:

Entonces, por el principio del palomar, uno de los $2 \times 4$ cuadrados deben tener $5$ caballeros. Pero de nuevo, incluso con intentar todos los casos, podemos ver que no podemos $5$ caballeros en $2 \times 4$ junta con la condición dada, por lo tanto, $8$ es el máximo número de caballeros para $4 \times 4$ junta.

Ahora, se puede colocar un máximo de $5$ a los caballeros de la $3 \times 3$ junta $6$ a los caballeros de la $3 \times 4$ tablas y $8$ caballero a $4 \times 4$ junta directiva, la cual da $5+2\cdot6+8 = 25$ , y suponiendo $26$ nos dará un resultado similar a $4 \times 4$ caso (podemos suponer una contradicción y demostrar $26$ caballeros no es posible).

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Ahora, esto no es una respuesta completa porque cuando ponemos la torre a otro lugar, digamos b2, nos quedamos con un $6 \times 6$ junta directiva, dos $1 \times 6$ tablas y un $1 \times 1$ junta. Aquí, por $1 \times 6$ juntas, si tomamos por separado, podemos colocar $6$ caballeros, con lo que se nos impida utilizar el argumento anterior. Todavía estoy publicando esto ya que puede dar alguna idea para que usted y los demás.