Identidades Trig análogas a $\tan(\pi/5)+4\sin(\pi/5)=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

Question

Las siguientes identidades trigonométricas han aparecido en varias preguntas en MSE:

$$-\tan\frac{\pi}{5}+4\sin\frac{2\pi}{5}=\tan\frac{\pi}{5}+4\sin\frac{\pi}{5}=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$$ $$-\tan\frac{2\pi}{7}+4\sin\frac{3\pi}{7}=-\tan\frac{\pi}{7}+4\sin\frac{2\pi}{7}=\sqrt{7}$$ $$\tan\frac{\pi}{11}+4\sin\frac{3\pi}{11}=\tan\frac{3\pi}{11}+4\sin\frac{2\pi}{11}=\sqrt{11}$$ $$\tan\frac{6\pi}{13}-4\sin\frac{5\pi}{13}=\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}=\sqrt{13+2\sqrt{13}}$$

¿Alguien conoce alguna identidad análoga para primos mayores? No he podido encontrar nada similar para $p=17$ o $p=19$ .

(Soy no pidiendo pruebas de las ecuaciones anteriores).

Answer 1

Hay una regla que satisfacer tanto para encontrar las identidades como para encontrar cualquier valor particular de una función trigonométrica con ese primo en el denominador y un múltiplo de $ \pi$ en el numerador.

• Considerando el caso de $5$ es un primo de Fermat y, por lo tanto, se puede construir con aristas y compás. Porque, $F_n = 2^{2^n}+1$ y $F_1=5$ . Y como el divisor despreciando el $1$ es $ k=2$ Se puede manipular con bisectrices simples o aristas rectas y compás.

• Teniendo en cuenta el número $7$ no es un primo de Fermat. Pero es un primo de Pierpont, es decir, de la forma $2^u 3^v+1$ . para $7$ , $u=v=1$ . Los números que son primos de Pierpont se pueden construir utilizando trisectores angulares (debido al factor $3$ ) o mediante la construcción de neusis.

• Teniendo en cuenta el número $11$ No es un primo de Fermat ni de Pierpont. Por lo tanto, no se puede construir utilizando las bisectrices (aristas rectas y un compás) ni utilizando un trisector de ángulos. Sólo es posible mediante la construcción de neusis.

• Para $13$ -gon, $13$ es un primo de Pierpont con $u=2, v=1$ y por lo tanto se puede construir usando trisectores de ángulos o neusis pero no se puede construir usando aristas rectas ya que no es un primo de Fermat.

• Teniendo en cuenta el número $15$ es un producto de primos de Fermat distintos $3$ ( $ F_0$ ) y $5$ ( $F_1$ ) y, por lo tanto, se puede construir utilizando aristas rectas y un compás.

• Teniendo en cuenta el número $17$ es un primo de Fermat ( $F_2$ ) y, por lo tanto, se puede construir con aristas rectas y compás.

• Pero $19$ no es un primo de Fermat sino un primo de Piermont y, por tanto, es construible mediante trisectores angulares o neusis. Esto es válido para cualquier número primo. Sólo los polígonos con lados primos de Fermat tendrán un valor definido para todas las funciones trigonométricas, pero los primos de Pierpont no tendrán un valor claramente definido para ninguna función trigonométrica. En cambio, dan la identidad para una suma o producto (o mixto) de diferentes amplitudes de seno y coseno de ángulos del formato $\frac{n\pi}{p}$ donde $p$ es el primo considerado y el número $n$ no tiene por qué ser la misma en toda la identidad.

Por ejemplo, considere el pentágono. Da el valor de $\cos{\frac{\pi}{10}}$ que puede utilizarse para dar el valor de $\cos{\frac{\pi}{5}}$ utilizando la identidad trigonométrica para $\cos{2x}$ . El valor de es $\cos{\frac{\pi}{10}}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$ . Del mismo modo, para el siguiente primo de Fermat, 17, se da como: \begin{equation} 16\cos{\frac{2\pi}{17}}=-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \end{equation} Para el número 13 de Pierpont, no se le puede dar un valor definido para una función trigonométrica como se mencionó anteriormente y por lo tanto la identidad se mantiene como:

\begin{equation} \cos^2 {\frac{\pi}{13}}+\cos^2 {\frac{3\pi}{13}}+\cos^2 {\frac{4\pi}{13}}=\frac{11+\sqrt{13}}{8} \end{equation} \begin{equation} \sin{\frac{\pi}{13}}+\sin{\frac{3\pi}{13}}+\sin{\frac{4\pi}{13}}=\sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{8}} \end{equation} Pero Wolfram ha revelado sobre el número $23$ como se indica aquí . Además, su solución general es la siguiente (es decir, cualquier función trigonométrica puede escribirse en términos de 1 y potencias fraccionarias de -1): $-\frac{1}{2}(-1)^{\frac{22}{23}}\big[1+(-1)^{\frac{2}{23}}\big]$

Es el mismo caso para $7$ , un primo de Pierpont como:

\begin{equation} \prod_{k=1}^{3} \sin{\frac{k\pi}{7}} =\frac{\sqrt{7}}{8} \end{equation} \begin{equation} \prod_{k=1}^{3} \cos{\frac{k\pi}{7}} =\frac{1}{8} \end{equation} \begin{equation} \cos^2 {\frac{\pi}{7}}-\cos{\frac{\pi}{7}}\cos{\frac{2\pi}{7}}=\frac{1}{4} \end{equation}

Y otra identidad para el mismo es: \begin{equation} \cos^{\frac{1}{3}} {\frac{2\pi}{7}}-\Bigg[-\cos{\frac{4\pi}{7}}\Bigg]^{\frac{1}{3}}-\Bigg[-\cos{\frac{6\pi}{7}}\Bigg]^{\frac{1}{3}}=-\Bigg[\frac{1}{2} \bigg(3\times7^{\frac{1}{3}}-5\bigg)\Bigg]^{\frac{1}{3}} \end{equation}

La razón para decir que un número de lados, $n$ que no es un primo de Fermat sino un primo de Pierpont para un $n-$ gon ser construible sólo por trisectores o neusis y no por bisectores es que los primos de Fermat permiten factorizar 2, es decir, bisecar ya que está en esa forma de potencia de 2 y ya que $n$ no es un primo de Fermat sino un primo de Pierpont, el único factor que distingue el primo de Pierpont del de Fermat es el 3. Por tanto, es construible mediante trisectores. Es decir, consideremos que el primo de Fermat es de la forma $F_n = 2^{k(n)}+1; k(n)=2^n$ es decir $k(n)=k$ en pocas palabras. El primo de Pierpont añade otro factor de 3, es decir $2^u3^v+1$ .

Answer 2

El caso de los múltiplos de $\pi/11$ en realidad se trata de cinco formas "simétricamente equivalentes":

$4\sin(5\pi/11)-\tan(2\pi/11)=\sqrt{11}$

$4\sin(\pi/11)+\tan(4\pi/11)=\sqrt{11}$

$4\sin(4\pi/11)-\tan(5\pi/11)=-\sqrt{11}$

$4\sin(2\pi/11)+\tan(3\pi/11)=\sqrt{11}$

$4\sin(3\pi/11)+\tan(\pi/11)=\sqrt{11}$

Todos son derivables de la suma cuadrática de Gauss correspondiente al número primo $11$ .

Son manifestaciones de la relación más compacta y "simétrica"

$\color{blue}{4\sin(3\theta)-\tan(\theta)=(k|11)\sqrt{11}}$

donde $\theta=(2k\pi/11)$ y $(k|11)$ es el símbolo de Legendre del residuo $k$ modulo $11$ con las ecuaciones específicas citadas anteriormente que representan $k=1,2,3,4,5$ respectivamente.

Hay una característica oculta en la ecuación representada en azul arriba. Además de los múltiplos de $\pi/11$ obtenemos un valor más de $\theta$ entre $0$ y $\pi$ donde la función de la izquierda evalúa a $+\sqrt{11}$ . En consecuencia, hay un valor adicional de $\theta$ entre $\pi$ y $2\pi$ que tienen el mismo coseno, para el cual el valor de la función es $-\sqrt{11}$ . Ahora, supongamos que introducimos $x=2\cos\theta$ . Elevando al cuadrado la ecuación azul, expresando las cantidades en términos de $x$ y al despejar las fracciones se obtiene una ecuación polinómica de octavo grado, que se factoriza de la siguiente manera:

$(x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1)(x^3-x^2-x-1)=0$

El factor quíntico es simplemente el polinomio mínimo para $2\cos(2k\pi/11)$ para $k\in\{1,2,3,4,5\}$ . El factor cúbico, que contiene las raíces "extra" para $\theta$ se ha acoplado a la quíntica a través de la suma de Gauss y las "relaciones seno-tangente" derivadas de ella.

En 2014 se descubrió que el hendecagón regular es neusis constructible . Los autores encontraron "milagrosamente" que la construcción de neusis, que requiere encontrar las raíces del factor quíntico dado anteriormente, se puede traducir en términos de raíces cúbicas para las que se garantiza una construcción de neusis. Resulta que en la construcción encontrada por los autores, la distancia del polo de la neusis (un punto fijo por el que pasa la regla marcada) a la recta que incluye una de las marcas satisface la ecuación

$a^3+a^2+a-1=0.$

Esto corresponde exactamente al recíproco de la raíz de $x^3-x^2-x-1=0$ siendo esta última ecuación el factor cúbico acoplado que surge de la suma de Gauss. La construcción sigue siendo un poco milagrosa, pero vemos que sus raíces cúbicas no aparecen de la nada. ¡Se derivan de la suma de Gauss!

Answer 3

$$\tan\frac{2\pi}{29}+4\left(-\sin\frac{2\pi}{29}+\sin\frac{6\pi}{29}+\sin\frac{8\pi}{29}-\sin\frac{20\pi}{29}+\sin\frac{22\pi}{29}\right)=\sqrt{29-2\sqrt{29}} $$

Answer 4

$$\tan\frac{2\pi}{37}+4\left(-\sin\frac{4\pi}{37}+\sin\frac{14\pi}{37}+\sin\frac{16\pi}{37}+\sin\frac{24\pi}{37}-\sin\frac{28\pi}{37}+\sin\frac{32\pi}{37}-\sin\frac{36\pi}{37}\right)=\sqrt{37+6\sqrt{37}} $$

Answer 5

También está lo siguiente: $$\tan\frac{\pi}{19}+4\sin\frac{7\pi}{19}+4\sin\frac{8\pi}{19}-4\sin\frac{6\pi}{19}=\sqrt{19},$$ $$-\tan\frac{3\pi}{19}+4\sin\frac{\pi}{19}+4\sin\frac{2\pi}{19}+4\sin\frac{5\pi}{19}=\sqrt{19},$$ $$\tan\frac{5\pi}{19}+4\sin\frac{2\pi}{19}-4\sin\frac{3\pi}{19}-4\sin\frac{8\pi}{19}=\sqrt{19},$$ $$\tan\frac{7\pi}{19}+4\sin\frac{\pi}{19}-4\sin\frac{4\pi}{19}+4\sin\frac{8\pi}{19}=\sqrt{19}.$$