¿Cuál es el tema de análisis?

Question

Es seguro decir que cada matemático, en algún momento de su carrera, ha tenido alguna forma de exposición para el análisis. Muy a menudo, aparece primero en la forma de un curso de licenciatura en análisis real. Es allí que a menudo expuestos a un riguroso punto de vista de las técnicas de cálculo que uno ya está familiarizado con. En esta etapa, uno podría argumentar que el verdadero análisis es el estudio de los números reales, pero ¿lo es? Una gran parte de eso incluye propiedades algebraicas, y como tal se encuentra en el mundo del álgebra. Es el fin de las propiedades, sin embargo, que tienen una especie de punto de vista del análisis. Claro, algunos de estos aspectos generalizar el nivel de topologías, pero no todos. Integridad, para uno, es claramente algo que es central para el análisis.

Argumentos similares se pueden hacer para el análisis complejo y el análisis funcional.

Ahora, la pregunta es: Como para todos los temas que son agrupados juntos como el análisis, es allí cualquier tema central a ellos? ¿Qué temas usted diría que pertenece a este tema? Y ¿cuáles son los temas subyacentes en cada uno de estos subtemas?

Agregar. Puede ser una cuestión subjetiva, pero tener una idea aproximada de cuáles son los temas centrales de un campo determinado se ayuda a construir preguntas adecuadas. Como tal, creo que es importante. Yo no esperaba una respuesta única, pero más de un conjunto diverso de opiniones sobre la materia.

Answer 1

Desde mi punto de vista, Análisis Real es un estudio de las funciones de (una o varias) variable real. Todo lo demás (límites, derivadas, integrales, series infinitas, etc.) es una herramienta que sirven a este propósito. [Hay una leve excepción, se tiene que hacer aquí para sucesiones y series de números reales y vectores; estas son funciones definidas en el conjunto de los números naturales y, a veces, los números enteros.] La teoría de los números reales y los límites se desarrolló en el siglo 19) con el fin de hacer el estudio de las funciones riguroso. Tenga en cuenta que la teoría de los límites y el "epsilonetics" no es el único camino a seguir. La alternativa (al menos, la única alternativa que yo sepa) es el Análisis no estándar que justifica la noción de infinitesimalmente pequeño e infinitamente grandes cantidades utilizadas por Newton, Leibnitz y otros para (sobre) los primeros 150 años de existencia de Análisis Real (antes de que los límites fueron introducidos por Cauchy y, en la forma moderna, por Weierstrass).

Por ejemplo, ¿cuál es el propósito (o, más bien, a efectos de calcular derivadas de funciones? Es para determinar si la función es creciente/decreciente/cóncavo/convexo o a la aproximación de la función dada por algunos polinomio (por lo general un polinomio de grado uno).

¿Cuál es el propósito de calcular los límites? Es para determinar "aproximado" comportamiento de la función cuando la variable de entrada está cerca de algunos (finito o infinito) de valor.

¿Cuál es el propósito de calcular las integrales? Es para calcular la longitud (de las curvas), áreas (de superficie), volúmenes (de los sólidos), o para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales (que son ecuaciones en las funciones relacionadas con algunos de sus derivados). En los problemas geométricos (longitudes, áreas y volúmenes) uno calcula un número único "medir" la función dada (es decir, la longitud de una curva).

¿Cuál es el propósito de la informática Taylor (Fourier) de la serie? Es a la aproximación de funciones con polinomios (o sumas de funciones trigonométricas) que son (generalmente) más fácil de analizar que en general las funciones lisas.

Esto es lo que era desde el principio de Análisis Real (Newton, Leibnitz, Bernoulli, Euler y muchos otros).

Answer 2

Hace mucho tiempo alguien me dijo esto. Todavía lo recuerdo ...

A veces me encuentro simplemente empujando símbolos alrededor, y me pregunto, "¿Realmente estoy haciendo análisis?" Pero cuando comienza un argumento, "Vamos a $\varepsilon > 0$ ", entonces sé que realmente es un análisis.

Answer 3

Yo diría que el concepto central de análisis es el concepto de límite, específicamente un límite de una secuencia. Todo lo que utiliza conceptos construido sobre el concepto de límite clasificaría como el análisis, no de álgebra. Que incluye el límite de una serie, límite de una función, continuidad de una función, la derivada y la integral de Riemann. A continuación, el análisis complejo que emerge de la compleja álgebra al introducir los derivados complejos e integrando sobre curvas. El análisis funcional depende también de los conceptos de continuidad y la integral, de lo contrario sería sólo el álgebra de infinitamente dimensiones de los espacios.

Answer 4

Mi impresión es que el análisis contrasta en gran medida con las matemáticas finitas / discretas y, por lo tanto, trata con espacios continuos, especialmente con la línea real. Esto se generaliza a los espacios con una métrica, una medida y / o una topología.