Encuentra el rango de una función$4$ th-degree

Question

Para la función$y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$, veo gráficamente que el rango es$\ge-1$. ¿Pero no puedo encontrar una manera de determinar el rango algebraicamente?

Answer 1

Enfoque sin cálculo / Completar el enfoque cuadrado

Dejar $u=(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$

$(x-1)(x-4)=x^2-5x+4=u-2$

Entonces \begin{align} y&=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\\&=u(u-2)\\&=u^2-2u\\&=(u-1)^2-1 \end {align}

Como$(u-1)^2\ge0$ para todos$u\in{\Bbb{R}}$

$y\ge0-1=-1$