Ortogonalidad de las funciones de wavelet de Haar.

Question

Estoy leyendo sobre wavelets y me topé con el siguiente:

$\text{Haar wavelet is a step function}\; \psi(x), \text{which takes values 1 and -1, when}\; x \;\text{is in the ranges}\; [0, \frac{1}{2}) \;\text{and}\; [\frac{1}{2}, 1).$

$\text{Dilations and translations of the Haar wavelet are defined as:}$

PS

Ahora aquí está lo que necesito ayuda con:

$$\psi_{jk}(x) = \text{const} \cdot \psi(2^jx-k) $

PS

$\text{It is apparent that:}$.

Mi pregunta es: ¿Por qué es verdad la integral de arriba?

PD

Aquí está mi referencia: http://gtwavelet.bme.gatech.edu/wp/kidsA.pdf (página 4)

Answer 1

Cuando$(j,k)\ne(j',k')$ entonces los dos apoyos son disjuntos, o una de las dos wavelets es constante en el soporte del otro.

Answer 2

Para simplificar, primero busque en el caso de que $j'=0$, $k'=0$.

Claramente, para todos los distinto de cero enteros $k$, $\int_{-\infty}^\infty \psi(x) \psi(x-k) dx = 0$, desde $\psi(x)$ es distinto de cero sólo en $[0,1]$ e $\psi(x-k)$ es distinto de cero sólo en $[k,k+1]$.

Para todos $n \in \mathbb{Z}$, $\int_n^{n+1} \psi(x) dx = 0$, así que si $a(x)$ es una función la cual es constante en los intervalos de $\{[n,n+1]\}_{n \in \mathbb{Z}}$, tenemos: $$ \int_{-\infty}^\infty \psi(x)a(x)dx = \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{n}^{n+1} \psi(x)a(x)dx= \sum_{k=-\infty}^\infty un(n+1/2) \int_{n}^{n+1} \psi(x)dx=0 $$ Tenga en cuenta que $\psi(2^j x - k)$ es constante en los intervalos de $\{[n2^{-1-j},(n+1)2^{-1-j}]\}_{n \in \mathbb{Z}}$, por lo que si $j<0$, es constante en la unidad de intervalos de $\{[n,n+1]\}_{n \in \mathbb{Z}}$, así como por la ecuación anterior tenemos $\int_{-\infty}^\infty \psi(2^j x - k) \psi(x) dx = 0$.

Para el caso general, podemos cambiar y cambiar la escala para reducir al caso base. Claramente, si $j>j'$ podemos invertir los roles de $(j,k)$ e $(j',k')$, así que supongamos $j\le j'$. Para transformar la integral, se realiza la sustitución de $2^{j'} x - k' = y \Leftrightarrow x = 2^{-j'} y + 2^{-j'}k'$.

$$\int_{-\infty}^\infty \psi(2^j x - k) \psi(2^{j'} x - k') dx =\frac{1}{2^{j'}} \int_{-\infty}^\infty \psi(2^{j-j'} y - (k-2^{j-j'}k')) \psi(y) dy$$

Así que por el caso base, la integral anterior es igual a $0$ si $j-j'=0$ e $k-k' \ne 0$ o si $j-j'<0$.

Answer 3

Las wavelets son similares a las versiones recortadas de las funciones de Rademacher, y "ortogonalidad" sigue en una manera similar.

Tenga en cuenta que $\psi^{-1} \{0\}^c = [0,1)$, y, por tanto,$\psi_{jk}^{-1} \{0\}^c = S_{jk} = \frac{1}{2^j}[k,k+1)$.

Las claves para la prueba son :(i) Cualquiera de los dos conjuntos de $S_{jk}, S_{j'k'}$ satisfacer uno de $S_{jk} \subset S_{j'k'}$, al revés, o $S_{jk} \cap S_{j'k'} = \emptyset$. (ii) Si $S_{jk}, S_{j'k'}$ se superponen, entonces cualquiera de las $S_{jk} = S_{j'k'}$, o uno está contenida en 'la mitad de la longitud" de la otra (que se hace precisa a continuación).

Tenemos $\int \psi = \int_{S_{00}} \psi = 0$, y, por tanto,$\int \psi_{jk} = \int_{S_{jk}} \psi_{jk} = 0$.

Ahora supongamos $j \le j'$. A continuación, cualquiera de $S_{jk} \supset S_{j'k'}$ o $S_{jk} \cap S_{j'k'} = \emptyset$.

Supongamos $j=j'$ e $k \neq k'$. Luego tenemos a $S_{jk} \cap S_{jk'} = \emptyset$, y de ello se sigue que $\int \psi_{jk} \psi_{jk'} = 0$.

Ahora supongamos $j < j'$. Si $S_{jk} \cap S_{j'k'} = \emptyset$, tenemos $\int \psi_{jk} \psi_{jk'} = 0$. Si $S_{jk} \supset S_{j'k'}$, entonces debemos tener (desde $\frac{1}{2^j} \ge \frac{1}{2} \frac{1}{2^{j'}} $) cualquiera de $\frac{1}{2^{j'}}[k',k'+1) \subset \frac{1}{2^j}[k,k+\frac{1}{2})$ o $\frac{1}{2^{j'}}[k',k'+1) \subset \frac{1}{2^j}[k+\frac{1}{2},k+1)$, y, por tanto, $\psi_{jk}$ es constante en $ S_{j'k'}$. De ello se desprende que $\int \psi_{jk} \psi_{jk'} = 0$.