Demostrar que el principio de buen orden implica el lema de Zorn.

Question

Estoy tratando de demostrar que también principio de orden implica el Lema de Zorn. Creo que estoy cerca, pero no sé muy bien para hacer el último paso de mi prueba. Aquí está lo que escribí hasta ahora:

Dado que en cada serie, un pedido puede ser definido, debemos demostrar que, Dado un conjunto parcialmente ordenado $A$, si cada vez más de la cadena en $A$ tiene un elemento maximal, Entonces $A$ tiene un elemento maximal.

Prueba: Tome $A$ parcialmente ordenado por $R$. Sabemos que existe un bien ordenando $S$ a $A$. Deje $k$ ser el menor ordinal s.t. $k=|A|$ y vamos, $k^+=k+1$. Definir por inducción transfinita, una función, $g:k^+ \rightarrow A$ como sigue:

1. $g(0)$ es el primer elemento en $A$ por $S$.

Para cualquier , $\alpha < k^+$:

1. Si $\alpha$ es un ordinal sucesor, s.t. $\alpha = \beta + 1$, a continuación, defina $g(\alpha)$, el primer elemento (por $S$), $a \in A$ tal que $g(\beta) <_{R} a$

2. si $\alpha$ es un ordinal límite, entonces, El conjunto de $\{g(\beta);\beta<\alpha\}$, es linealmente ordenado por $R$. Por lo tanto tiene un límite superior. De todas las palas de los límites, vamos a tomar la primera (Por $S$) a $g(a)$.

3. $g(k^{+})$ es linealmente ordenado. Por lo tanto, por el lema de la asunción, que tiene un límite superior en $M \in A$.

4. Pretendemos que $M$ es un elemento maximal de $A$. Porque, si no no sería $x >_{R} M$ en $A$, por la construcción de $g$, $g(k^{+})$ contendría un elemento que ia mayor o equall (por $R$) a $x$, contradiciendo el hecho de que $M$ es un límite superior de $g(k^{+})$.

El paso que no estoy seguro de que es el paso 5. No estoy seguro de tiempo el hecho de que $|k|=|A|$ y $g(k^{+})$ es isomorfo a $k$ son suficientes. ¿Qué te parece?

Gracias! Shir

Answer 1

Algunas cuestiones:

1. El lema de Zorn se acerca parcial de conjuntos ordenados, donde cada cadena tiene una cota superior, no es un elemento maximal. Puede ser muy fácil organizar una cadena sin un elemento maximal en un parcial conjunto ordenado que tiene una infinita cadena, para empezar.

2. El uso de $\kappa^+$ para denotar $\kappa\setminus\{\varnothing\}$ es un horrible elección de la notación, ya que $\kappa^+$ denota el sucesor, el cardenal de $\kappa$.

3. Usted necesidad de modificar ligeramente la construcción de la cadena. Supongamos que $\{g(\beta)\mid\beta<\alpha\}$ fueron definidos, a continuación, $g(\alpha)$ es el que menos (en el orden) tal que $\{g(\beta)\mid\beta\leq\alpha\}$ es una cadena. Si no hay elección posible, entonces $\{g(\beta)\mid\beta<\alpha\}$ es una máxima de la cadena ya.

4. Usted no tiene que utilizar contradicción aquí.