¿Cómo puedo comparar dos matrices?

Question

Tengo un matrice A. es el modelo de probabilidad de matrice de algún proceso (cadena de Markov).
Entonces, he estimado matrice B.
Tengo alguna manera de comparar estos dos matrices para saber si el proceso que dio matrice B en el resultado coincide con el modelo de matrice A. ¿Cómo puedo hacer esto? Me gustaría tener algún parámetro para cambiar un tollerancy de la diferencia.
Necesito al menos tres métodos diferentes para que yo pueda comparar sus resultados.

Esas matrices son matrices estocásticas. Su tamaño es de n x n.

No sé cómo decirlo. Tengo dos series de observaciones de estado. Uno de ellos es un "modelo" y por otro tengo que decidir si coincide con el "modelo".

A partir de dos series diferentes de observación del estado de la estimo que el "modelo" matrice a y B. matrice Entonces yo, debe comprobar si el proceso que resultó en la matriz B es el mismo proceso que dio el modelo de matrice A.

Por favor, ver a mi nueva pregunta ¿Cómo puedo comparar dos procesos de Markov?

Answer 1

En otras palabras, usted quiere saber si el proceso que se observan y que dio lugar a $B$ podría corresponder a una ruta de acceso de la cadena de Markov con matriz de transición $A$, o no. Una forma canónica para responder a esta pregunta es calcular la probabilidad de que la secuencia de observaciones descritas por $B$ con respecto al modelo de $A$. Para las cadenas de Markov, esto es $$L=\prod_{x,y}a(x,y)^{N(x,y)},$$ donde el producto es más de todos los estados de la $x$ e $y$ e $N(x,y)$ es el número de veces que se observa una transición de $x$ a $y$. Presumiblemente, $B$ corresponde a $B(x,y)=N(x,y)/N(x)$ donde $N(x)$ es el número de veces que se observó una visita a $x$.

Si, de hecho, la observó la secuencia generada por el modelo $A$, $N(x,y)=nm(x)A(x,y)+o(n)$ para cada $x$ e $y$ donde $n$ es la longitud de la sequene y $m$ es la llamada distribución estacionaria de la cadena de Markov. Por lo tanto, $$\log L_A=n\cdot\Lambda_A+o(n),\quad \Lambda_A= \sum_{x,y}m(x)a(x,y)\log a(x,y).$$ Por otra parte, la discrepancia entre el $B$ e $A$ bajo la hipótesis de que la secuencia fue generado por $A$ es descrito por un teorema central del límite, es decir, por cada $x$ e $y$, $$N(x,y)=nm(x)a(x,y)+\sqrt{n}Z_{x,y}+o(\sqrt{n}),$$ para un determinado centrado gaussiano de la familia $(Z_{x,y})$ cuya matriz de covarianza depende de $A$ y puede ser calculada de forma explícita. Por lo tanto el %aproximado$p$-valor de la observó la secuencia es $$\mathrm P(Z\aprox (N-nm\cdot A)/\sqrt{n}).$$ Suponiendo que la matriz de covarianza de $Z$ es $C$, se obtiene un aproximado de $p$-valor de $\mathrm e^{-K/2n}$, con $$K=(N-nm\cdot A)^*C^{-1}(N-nm\cdot A).$$ También se puede considerar la probabilidad de $L$ y la nota que $$L=L_A^n\cdot L_{B\a mediados de A},\qquad L_{B\a mediados de A}=\prod_{x,y}a(x,y)^{N(x,y)-nm(x)a(x,y)},$$ y el uso de $L_{B\mid A}$ para estimar la discrepancia entre lo observado secuencia, descrito por $(N(x,y))$, y el modelo, descrito por $A$.