No puedo encontrar un límite aparentemente simple $ \lim_ {n \to\infty } \frac {(n+k)!}{n^n}$

Question

Evaluar el límite: $$ \lim_ {n \to\infty } \frac {(n+k)!}{n^n}, \ n,k \in\Bbb N $$

Me gustaría evitar la aproximación de Stirling, los derivados y Cesaro-Stolz, ya que ninguno de ellos ha sido introducido todavía.

He intentado aplicar la vieja prueba de la proporción para mostrar que la secuencia es limitada y monótona, por lo tanto convergente, pero eso no lleva a ninguna parte. Al menos no pude encontrar los límites apropiados: $$ \frac {x_{n+1}}{x_n} = \frac {(n+k+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac {n^n}{(n+k)!} \\ = \frac {n+k+1}{n+1} \cdot \frac {n^n}{(n+1)^n} \\ = \underbrace { \left (1+{k \over n+1} \right )}_{>1} \underbrace { \frac {n^n}{(n+1)^n}}_{<1} $$

Esto no es concluyente en absoluto. Algunos pensamientos adicionales lo son: $$ \begin {align} x_n &= \frac {n!}{n^{n-k}} \cdot \frac {n+1}{n} \cdot \frac {n+2}{n} \cdots\cdot \frac {n+k}{n} \\ &= \frac {n!}{n^{n-k}} \left (1+{1 \over n} \right ) \left (1+{2 \over n} \right ) \cdots\left (1+{k \over n} \right ) \\ & \le \frac {n!}{n^{n-k}} \left (1+{k \over n} \right )^k \\ & \le \frac {e^kn!}{n^{n-k}} \end {align} $$

Aunque no estoy seguro de cómo apretarlo. Sé que el límite es $0$ desde $x_n$ está disminuyendo a partir de algunos $N$ hacia $0$ . Pero, ¿cómo puedo demostrarlo rigurosamente? Preferiría una pista que una respuesta completa. ¡Gracias!

Answer 1

Aplicar la prueba de proporción a la serie $$ \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {(k+n)!}{n^n} $$ Los ratios a evaluar son $$ \frac {(k+n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac {n^n}{(k+n)!}= \frac {k+n+1}{n+1} \frac {n^n}{(n+1)^n} $$ Obsérvese que el límite de la primera fracción es $1$ y el límite de la segunda fracción es $1/e<1$ .

Por la prueba de proporción, la serie es convergente. Por lo tanto, $$ \lim_ {n \to\infty } \frac {(k+n)!}{n^n}=0 $$

Answer 2

Creo que tu segundo enfoque es más grande. Empezando desde donde lo dejaste, como $n$ aumenta, ya sabes $n \gg k$ . Entonces reescribe $x_n$ como $$e^k \frac {n!}{n^{n-k}}$$

Ignorando el coeficiente de $e^k$ Por ahora, se puede comparar el numerador y el denominador término por término utilizando la definición de factorial y de exponenciación, y los próximos pasos a seguir deberían ser más claros. Puedo editar si necesitas más de un empujón.

Answer 3

Como tienes $ \frac {(n+k)!}{n^n} \leq \frac {n!}{n^{n-k}} \left (1+ \frac k n \right )^k.$ Ahora $ \left (1+ \frac k n \right )^k \rightarrow 1$ como $n \rightarrow \infty $ para un fijo $k \in\mathbb {N}$ y $ \frac {n!}{n^{n-k}}=k! \frac {(k+1)(k+2) \ldots n}{n^{n-k}} \leq k! \frac {(k+1)(k+2) \ldots \left\lfloor \frac n 2 \right\rfloor }{n^{ \left\lfloor \frac n 2 \right\rfloor -k}} \leq k! \left ( \frac12\right )^{ \left\lfloor \frac n 2 \right\rfloor -k} \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty $ para un fijo $k \in\mathbb {N}.$ Así que.., $ \frac {(n+k)!}{n^n} \rightarrow 0.$