Cuando la selección de los términos de subsequence de cada bisections, pensé axioma de elección podría ser necesaria. Pero yo no estoy tan seguro de si o no, así que por favor dime.
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Lo siento por la falta de explicación.
Quiero probar esta afirmación:
Deje $a_1, a_2, \ldots \in \mathbf{R}$, e $(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ es acotado, entonces $(a_n)$ tiene algunos convergente larga.
La prueba es como sigue. Desde $(a_n)$ es acotado, para todos los $n\in\mathbf{N}$,
$a_n \in I = [b, c]$.
Ahora, vamos a $I_0 = I$ e si $I_n = [b_n, c_n]$,
definimos $d_n = (b_n+c_n)/2$ y
si infinitos términos de $(a_n)$ está incluido en $[b_n, d_n]$(resp. $[d_n, c_n]$), vamos a definir
$I_{n+1} = [b_n, d_n]$(resp. $[d_n, c_n]$).Si ambos intervalos contienen infinitos términos, vamos a $I_{n+1}$ ser $[d_n, c_n]$.
Para todos los $n\in \mathbf{N}$, infinita cantidad de $m \in \mathbf{N}$ existe tal que $a_m \in I_n$ es suficiente. Tomamos la secuencia de los números naturales $(n(k))_{k\in\mathbf{N}}$cual es suficiente $n(0) < n(1) < \cdots < n(k) < \cdots$ siguiendo este procedimiento:
Ahora ya hemos seleccionado $a_{n(1)}, \ldots, a_{n(k)}$, hay infinita cantidad de $m\in \mathbf{N}$ cual es suficiente $n(k)<m, a_m \in I_{k+1}$, así que vamos a tener el mínimo m de ella. La aplicación de este proceso de forma recursiva, se obtiene una infinita convergente larga(?).
Creo que de forma intuitiva, mediante la repetición de este proceso que no se puede obtener contables infinitos términos de la larga porque tenemos que repetir infinitas veces.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Me gustaría explicar por qué la prueba anterior, no es necesario utilizar el axioma de elección. Cuando usted dijo "así que vamos a tener el mínimo m fuera de ella" usted ha hecho un definido elección. Si alguien más lo haga usted la prueba de que él va a "elegir" la misma "m", porque la forma en que la elección se hace es especificado. Esta elección se hace infinitamente muchas veces. Sin embargo, suponga que (lo cual no es cierto) no existe un mínimo de m entre los enteros mayores que n(k), o asumir que (lo cual no es cierto) que el mínimo que existe, pero no es el único, así que no hay manera de señalar con el dedo para que usted no tiene ninguna manera de definir con precisión, sólo decir, "ok, ya sé que hay infinitamente muchos convenientes tales m, entonces puedo elegir a uno de ellos, uno de ellos es ok!"esta forma de tomar m necesita el axioma de elección! Los invito a leer el ejemplo dado por Bertrand RUSSEL, sobre el modo de elegir los zapatos y los zócalos; suponga que hay infinitamente muchos pares de zapatos y usted quiere elegir a uno de cada par, a continuación, puede especificar su elección de cada par diciendo por ejemplo, el de la izquierda de cada par, o el derecho de cada uno, esta opción es posible porque se puede distinguir al menos un zapato de el par de zapatos, por cada par de zapatos. Pero, ¿qué acerca de si los pares son indistinguibles como sockets pares. Esta vez usted necesita el axioma de elección. En su prueba, el conjunto de cómoda m contiene un distinguido elemento que es el mínimo, y es esto que usted elija. así que no es necesario el axioma de elección.
No hay problema con el axioma de elección aquí.
Construimos segmentos iniciales cada vez más largos de nuestras subsecuencias. Esto es como mirar un árbol de secuencias finitas de números naturales. El árbol en sí ya es probablemente bien ordenable. Así que la existencia de una rama, la secuencia infinita, no está utilizando el axioma de elección.
La razón que usted no necesita elección no es sólo debido a que su elección en cada paso es único. También es porque en el mundo de la ZF la unión de cualquier secuencia de conjuntos es en sí mismo un conjunto, porque de el axioma esquema de reemplazo como una secuencia de conjuntos es sólo una función de un conjunto de índices a un codominio conjunto. Así la primera vez que uso ese método para construir una secuencia de funciones que forman un aumento de cadena en virtud de la inclusión del conjunto (porque usted está extendiendo cada función a la siguiente), y luego de tomar su unión para obtener una nueva función que es ahora una secuencia infinita. Luego de demostrar que esta nueva función tiene las propiedades que desee.
