Cómo encuadernar la siguiente suma.

Question

Estoy interesado en delimitar la suma.

PS

donde$$S(x)=\sum_{i\leq x}\vert\{x/i\}-\{x/(i+1)\}\vert$ es la parte fraccionaria de$\{x\}$.

Un cálculo en MATHEMATICA parece sugerir$x$ $

donde$$S(x)=O(x^\theta)$ es un número real menor que 1.

Pregunta: ¿Existe alguna evidencia teórica para tal conjetura?

Answer 1

Tenemos $$ \begin{align} S(x)&=\sum _{i\le x}\left|\{\tfrac xi\}-\{\tfrac x{i+1}\}\right|\\ &= \sum _{i\le \sqrt x}\left|\{\tfrac xi\}-\{\tfrac x{i+1}\}\right|+\sum _{\sqrt x <i\le x}\left|\{\tfrac xi\}-\{\tfrac x{i+1}\}\right|\\ &\le \lfloor \sqrt x\rfloor+\sum_{1\le k\le \sqrt x}\sum_{\frac x{k+1}<i\le \frac xk} \left|\{\tfrac xi\}-\{\tfrac x{i+1}\}\right|\\ &\le\lfloor \sqrt x\rfloor+\sum_{1\le k\le \sqrt x}\left(1+\sum_{\frac x{k+1}<i\le \frac xk-1} \left|\bigl\{\tfrac xi\bigr\}-\bigl\{\tfrac x{i+1}\bigr\}\right|\right)\\ &=\lfloor \sqrt x\rfloor+\sum_{1\le k\le \sqrt x}\left(1+\sum_{\frac x{k+1}<i\le \frac xk-1} \left|\frac xi-\frac x{i+1}\right|\right)\\ &\le \lfloor \sqrt x\rfloor+\lfloor \sqrt x\rfloor+\sum_{1\le k\le \sqrt x}\left(\frac{x}{x/(k+1)}-\frac{x}{x/k}\right)\\ &=2\lfloor \sqrt x\rfloor+\sum_{1\le k\le \sqrt x}1\\ &= 3\lfloor \sqrt x\rfloor. \end {align} $$ (para el paso crucial, observe que$\{\alpha\}-\{\beta\}=\alpha-\beta$ si$\lfloor \alpha\rfloor = \lfloor \beta\rfloor$.)

Por lo tanto,$S(x)=O(x^\theta)$ con$\theta=\frac12$.