"Integración de los grupos

Question

Intenté integrar$\int_0^4 2t^3\sqrt{4t^2+4}\,\,dt$, sustituyendo$u=t^2+1$. La sustitución parecería dar como resultado$8\int_1^{17} (u^2-2u+1)u^{1/2}\,\, du$. Luego integré y me di cuenta de que esto no coincide con el valor (utilicé la primera forma integral) que calculé usando la calculadora y wolframalpha. Y también calculé mi propio "deber-ser-equivalente-pero-con-sustitución-de-t-con-u" usando la calculadora y wolframalpha, y los resultados no coincidieron.

Entonces, ¿qué hice mal aquí?

Answer 1

Con $u = t^2 + 1 \implies du = 2t\,dt$

$t^3 = t^2\cdot t$, y$t^2 = (t^2 + 1) - 1 = u - 1$.

PS

Answer 2

¿O qué tal un poco de integración por partes en su lugar? :

PS

asi que

PS

PS

Answer 3

Otro método:$$\int_0^42t^3\sqrt{4t^2+4}dt = 4\int_0^4t^3\sqrt{t^2+1}$ $

Sustituir$$u=t^2; \,t=\sqrt{u};\, dt = \frac{1}{2\sqrt{u}}du;\, t^3 = u^{3/2} $ $

PS

de lo cual encontramos que una antiderivada para$$=4\int_0^{16}u^{3/2}\sqrt{u+1}\frac{1}{2\sqrt{u}}du = 2\int_0^{16}u\sqrt{u+1}\\=2\int_0^{16}(u+1)\sqrt{u+1}-\sqrt{u+1}\,\,\,du$ es$2t^3\sqrt{4t^2+4}$ $

Tenga en cuenta que$$\frac{4}{5}(t^2+1)^{5/2}-\frac{4}{3}(t^2+1)^{3/2}.$ es una bijección diferenciable (difeomorfismo) en el intervalo relevante.