Riemann$\zeta$ y las estimaciones de Chebyshev

Question

Me gustaría triturar un poco de luz sobre las relaciones entre las propiedades de la de Riemann $\zeta$ función y la versión débil del Primer Número Teorema demostrado por Chebyshev. Más precisamente, se tienen los siguientes hechos :

• la pole en $s=1$ es equivalente a la infinitud de los números primos
• la no existencia de ceros en $\sigma = 1$ es equivalente a la PNT en el formulario de $\pi(x) \sim x / \log x$
• el que se sabe (o cree) cero región libre implica estimaciones para el término de error

Sin embargo, las pruebas a las que me encuentre sobre el resultado de Chebyshev $$\pi(x) \asymp \frac{x}{\log x}$$

no utilice ningún analítica de la propiedad de la Riemann zeta función, sino más bien los cálculos con las órdenes de funciones aritméticas (no sé si es o no la prueba que tengo en mente es de Chebyshev es).

¿Hay alguna prueba de uso de la analítica de las propiedades de $\zeta$?

Mi atención ha sido atrapado por un comentario en Montgomery-Vaughan libro (Multiplicativo de la Teoría de los números), que indica que de Chebyshev las estimaciones se han obtenido a partir del comportamiento de $\log \zeta(s)$ cuando $s \to 1^{+}$.

Answer 1

Una simple búsqueda en Google para "la prueba del teorema de los números primos" se presentó este, que parece ser lo que usted desea:

/https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2975232/fulltext.pdf

Aquí está el título y el primer párrafo:

Newman Corto de la Prueba del Teorema de los números Primos

D. Zagier

Dedicado a el Teorema de los números Primos en la ocasión de su cumpleaños número 100

El teorema de los números primos, que el número de números primos < x es asintótica x/log x, se demostró (de forma independiente) por Hadamard y de la Vallée Poussin en 1896. La prueba tuvo dos elementos: mostrar que Riemann zeta función de $\zeta(s)$ no tiene ceros con Re(s) = 1, y deducir el teorema de los números primos a partir de este. Un genial corto de la prueba de la primera afirmación fue encontrado poco después por los mismos autores y por Mertens y se reproduce aquí, pero la deducción del teorema de los números primos siguieron implican difícil análisis. Una prueba de que fue la primaria en un sentido técnico-que se evita el uso de análisis complejo, fue descubierto en 1949 por Selberg y Erdos, pero esta prueba es muy compleja y mucho menos claramente motivado que la analítica de uno. Hace un par de años, sin embargo, D. J. Newman encontrado una muy simple versión de la Tauberian argumento necesario para una analítica de la prueba del teorema de los números primos. Se describe el resultado de la prueba, que tiene una hermosa estructura simple y utiliza casi nada más allá del teorema de Cauchy.