Prueba $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2x^{n-i} = 0$ tiene raíces negativas de $n$

Question

Vamos a $n \in \mathbb{Z^+}$, ¿a $\text{prove}|\text{disprove}$ que:

la ecuación de $\boxed{\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2x^{n-i} = 0}$ tiene exactamente $n$ distintos negativo raíces.

Mi amigo se aburre, entonces él comenzó a jugar con ecuaciones. Y se encontró con que $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2x^{n-i} = 0$ $n = 1, 2, 3$ ha $1, 2, 3$ distintos negativo raíces, respectivamente, él me pidió que probar el "citó a la pregunta" por encima; pero parece que no puedo hacer, ayuda por favor o darme una pista.

Gracias. Por favor me ayude a editar mi post y etiquetas, no soy bueno en inglés

Answer 1

El polinomio en cuestión es igual a $(1-x)^n P_n \left( \dfrac{1+x}{1-x} \right)$ $P_n$ dónde está la $n$-ésimo polinomio de Legendre. Así que la pregunta es se reduce por el hecho de que $P_n$ tiene raíces distintas de $n$ $(-1,1),$ se prueba que aquí.