¿Es correcta mi solución? Demostrar que una progresión aritmética contiene la sexta potencia de algún entero

Question

Sea $p$ y $q$ sean enteros positivos distintos. Supongamos que $p^2$ y $q^3$ son términos de una progresión aritmética infinita cuyos términos son enteros positivos. Demostrar que la progresión aritmética contiene la sexta potencia de algún entero

Que la progresión tenga la forma $a_n=a+nb$ entonces cualquier término de la progresión debe ser congruente con $a \mod b$

Si $b$ divide $a$ entonces $q^6$ funciona
Si no es así:
Si $a=1$ entonces $q^3\equiv 1 \mod b$ y $q^6 \equiv 1 \mod b$

Si $a \neq 1$ entonces hay $r>0$ tal que $a^r \equiv a \mod b$ (¿sería correcto?). Entonces, si $r$ es par, digamos $r=2k$ entonces podemos tomar $(q^k)^6 = (q^3)^{2k}=a^r \equiv a \mod b$

Si $r$ es impar $r=2k+3, \ \ \ k=0,1,...$ entonces $(q^kp)^6=(q^3)^{2k}(p^2)^3=a^{2k}a^3=a^r\equiv a \mod b $

Answer 1

La parte que no funciona en general es encontrar $r>1$ para que $a^r=a \mod b$ como mencionó Thomas. Esto funciona siempre y cuando $\gcd(a,b)=1$ . Entonces $a$ está en el grupo unidad módulo $b$ es decir $a \in (\mathbb{Z}/b\mathbb{Z})^\times$ . Así que tiene cierto orden $k$ para que $a^k=1$ entonces $a^{k+1}=a$ .

Ahora bien $gcd(a,b) \neq 1$ podemos demostrar que para cualquier factor primo común $p$ la potencia superior de $p$ dividiendo $a$ es una potencia de $p^6$ . T

Usando el Teorema Chino del Resto, puedo suponer $b=p^k$ para algunos $k\geq 1$ . $p|a$ así que $a=0 \mod p$ .

Sabemos que $a=x^2=y^3 \mod b$ (He cambiado p,q por x,y). Las siguientes líneas sólo muestran que la mayor potencia de $p$ buceo $a,x^2,y^3$ son todos iguales, suponiendo $p^k$ no divide $a$ .

Desde $b=p^k$ reducimos a módulo $p$ para obtener $a=x^2=y^3=0 \mod p$ .

Así que $p|x$ y $p|y$ .

Escriba a $x=up^m,y=vp^n$ donde $p$ no divide $u$ y $v$ .

Entonces $x^2=y^3 \mod p^k$ así que $u^2p^{2m}=v^3p^{3n} \mod p^k$ .

Si $a=0 \mod p^k$ , e conseguir su otro caso, $b|a$ .

Supongamos que $a \neq 0 \mod p^k$ para que $2m,3n<k$ .

Así que $2|m$ y $3|n$ es decir $6|2m=3n$ .

Escribir $a=wp^s$ como hicimos para $x,y$ vemos los poderes de $p$ son los mismos para $a,x^2,y^3$ ya que todos son iguales módulo $p^k$ .

Por lo tanto $6|s$ y podemos escribir $a=w(p^t)^6$ .

$\gcd(w,b=p^k)=1$ y $w=u^2=v^3$ (comprueba esto) por lo que es una sexta potencia según tu argumento. Así que en total, $a$ es una sexta potencia módulo $b$ .

Me di cuenta después, sólo estoy usando el hecho de que $\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ es un UFD. Después, la prueba es igual que para $\mathbb{Z}$ . Así que esto es realmente un hecho sobre UFDs con un grupo unidad finito.