¿Para qué grupos abelianos$G$ hay una secuencia exacta corta$0 \rightarrow \mathbb{Z}/p^2 \rightarrow G \rightarrow \mathbb{Z}/p^2 \rightarrow 0$?

Question

Estoy tratando de encontrar por lo que abelian grupos $G$ hay una breve secuencia exacta.

$0 \rightarrow \mathbb{Z}/p^2 \rightarrow G \rightarrow \mathbb{Z}/p^2 \rightarrow 0$?

He razonado de la siguiente manera: considere la secuencia con los mapas de la siguiente manera $$0 \xrightarrow[]{\phi} \mathbb{Z}/p^2 \xrightarrow[]{f} G \xrightarrow[]{g} \mathbb{Z}/p^2 \xrightarrow[]{\psi} 0$$

Ya que queremos que la secuencia para ser exactos, tenemos que $\ker f= im(\phi) = 0$ (por lo $f$ es inyectiva) y necesitamos ese $im(g) = \ker (\psi) = \mathbb{Z}/p^2$ (por lo $g$ es surjective). En la parte superior de eso, sabemos que $im( f) = \ker g$. Entonces, por el primer teorema de isomorfismo, sabemos que $\mathbb{Z}/p^2 / \ker f = \mathbb{Z}/p^2 \cong im(f) = \ker g$. Así conocemos $\ker g = \mathbb{Z}/p^2$ e $im(g) = \mathbb{Z}/p^2$. Esto me lleva a pensar que una posibilidad para $G$ es $\mathbb{Z}/p^2 \oplus \mathbb{Z}/p^2$. Sin embargo, las respuestas dicen que otras posibilidades podrían ser $\mathbb{Z}/p^4$ e $\mathbb{Z}/p^3 \oplus \mathbb{Z}/p$ y no veo cómo vinieron con esta posibilidad, ¿alguien puede explicar esta solución? También, es mi argumento de por qué $G$ puede $\mathbb{Z}/p^2 \oplus \mathbb{Z}/p^2$ correcta? Gracias por su ayuda!

Answer 1

Esta breve secuencia exacta es una forma elegante de decir que $G$ tiene un subgrupo $H$ tal que $H$ e $G / H$ son tanto isomorfo a $\mathbb Z / p^2$.

[Creo que de $f$ como la incorporación de la $H$ a $G$, y creo que de $g$ como es la proyección de $G$ a $G/H$. Es claro que $f$ es inyectiva, y $g$ es surjective, y ${\rm im}(f) = {\rm ker}(g)$, que es lo que su corta secuencia exacta, dice.]

Por ejemplo:

• $G = \mathbb Z / p^2 \oplus \mathbb Z / p^2$, con $H$ generado por $(1, 0)$.

• $G = \mathbb Z / p^4$, con $H$ generado por $p^2$.

• $G = \mathbb Z / p^3 \oplus \mathbb Z / p$, con $H$ generado por $(p, 1)$.