Encontrar puntos de estancamiento a partir del potencial complejo.

Question

Estoy tratando de encontrar el punto de estancamiento de un flujo de fluido a partir de un potencial complejo. El potencial complejo está dado por$$\Omega(z) = Uz + \cfrac{m}{2\pi}\ln z.$$ From this I found the streamfunction to be $ \ psi = Ur \ sin \ theta + \ cfrac {m} {2 \ pi} \ theta$ and the velocity potential to be $ \ phi = Ur \ cos \ theta + \ cfrac {m} {2 \ pi} \ ln r $.

Creo que los puntos de estancamiento ocurren cuando$u=v=0$, donde$u = \cfrac{\partial \phi}{\partial x}$ y$v = \cfrac{\partial \psi}{\partial y}$. Si es así, ¿tendría que volver a convertir en colas cartesianas? Cualquier ayuda apreciada!

Answer 1

Usted es la mayoría correcta (a excepción de la $v$ se $\frac{\partial \phi}{\partial y}$). Sin embargo, es más fácil lidiar con $\Omega(z)$ directamente.

Dado que las componentes de la velocidad son $u=\cfrac{\partial \phi}{\partial x}=\cfrac{\partial \psi}{\partial y}$ e $v=\cfrac{\partial \phi}{\partial y}=-\cfrac{\partial \psi}{\partial x}$, un punto de estancamiento con velocidad cero necesidades tanto a desvanecerse. Usted puede traducir esta vuelta al complejo derivado de la $\Omega$ como $$\frac{d}{dz}\Omega=\frac{\partial \phi}{\partial x}+i\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}-i\frac{\partial \phi}{\partial y}=0.$$ Esto significa que usted puede trabajar directamente en el (complejo) sistema de coordenadas para encontrar el punto de estancamiento fácilmente: $$ 0=\frac{d\Omega}{dz}=U+\frac m{2\pi}\frac{1}{z},\quad\text{para}\quad z=x+iy=-\frac{2\pi}m U+0i. $$ Fácil!

Answer 2

El trabajo para esa última solución fue correcto, excepto por la respuesta final. Debería ser:

$ z = \frac{-m}{2 \pi U}+0i $