Generar tres números aleatorios que sumen 1 en R

Question

Me gustaría generar tres números aleatorios y luego normalizarlos para que sumen 1.

Me gustaría repetir este procedimiento para que a la larga el modo sea 0,33 para cada número.

Answer 1

Si X1, X2 y X3 son i.i.d. Gamma(a) entonces {X1,X2,X3}/(X1+X2+X3) será Dirichlet(a,a,a).

Si a>1, el modo será 1/3. El pico será más agudo para valores mayores de a.

Answer 2

El modo es un poco de una pista falsa. He aquí una solución muy sencilla a este problema que evita la necesidad de definir el modo con precisión. Me sorprende que no se haya propuesto antes. La restricción de la moda puede satisfacerse fácilmente extrayendo muestras de una distribución simétrica y escalándolas adecuadamente:

$$(x_i,y_i,z_i)\sim\mathrm{i.i.d.}\;\mathcal{L}(\mu,\sigma)$$ $$(x_i^*,y_i^*,z_i^*)=\left(\frac{x_i}{x_i+y_i+z_i},\frac{y_i}{x_i+y_i+z_i},\frac{z_i}{x_i+y_i+z_i}\right)$$

donde $\mathcal{L}(\mu,\sigma)$ es una distribución simétrica (de modo que la media, la moda y la mediana son iguales) y se elige de modo que la masa de probabilidad por debajo de 0 es 0. Por ejemplo, si se elige $\mathcal{L}(\mu,\sigma)$ para ser $\mathrm{Beta}(2,2)$ :

a1 <- matrix(rbeta(100*3,2,2), nc=3)
a1 <- sweep(a1, 1, rowSums(a1), FUN="/")
colMeans(a1)
# [1] 0.3342165 0.3341534 0.3316301

que da lugar a la solución deseada

sum(colMeans(a1))
# [1] 1

Answer 3

Esta es una respuesta numérica aproximada. Se puede precisar fácilmente.
Dejemos que $\{U,V,W\} = {X,Y,Z}/(X+Y+Z)$ , donde $X,Y,Z$ son i.i.d. con una densidad trapezoidal en $[0,1]$ :

$f(x)=1+a-2ax.$ $U,V,W$ tendrán márgenes idénticos.
Dada una 'a' numérica, utilicé Mathematica para obtener la cdf de $U$ :

F[u_] = Assuming[0 < u < 1, Simplify@Integrate[  
Boole[x < u(x+y+z)] f[x] f[y] f[z], {x,0,1},{y,0,1},{z,0,1}]

Diferenciando $F$ dos veces, poniendo el resultado a cero, y resolviendo el polinomio de 7º grado resultante dio el modo. Utilicé una búsqueda binaria para afinar el valor de 'a'. Utilicé la aritmética exacta en todo momento, hasta el punto de resolver el polinomio.

  a      mode

  1    .318182  
 7/8   .322065  
13/16  .327099  
25/32  .330465  
49/64  .332373  
97/128 .333376 <-- close enough?  
 3/4   .334221  
 1/2   .353738  
  0    .359187

Answer 4

Analíticamente: Dado un pdf conjunto para $X$ , $Y$ y $Z$ $f_{X,Y,Z}(x,y,z)$ si son iid, entonces $f_{X,Y,Z}(x,y,z)=f_X(x)f_Y(y)f_Z(z)$ , donde $f_X(x)=f_Y(y)=f_Z(z)$ . Tienes que encontrar el pdf $$f_{X,Y,Z}\left(\dfrac{x}{x+y+z}\right)$$ Después de diferenciar e igualar a cero, encontrarás tu modo. Obviamente, el modo dependerá de $f_{X,Y,Z}(x,y,z)$ y, en consecuencia, en $f_X(x)$ , $f_Y(y)$ y $f_Z(z)$ .

Numéricamente: tome una muestra de tres números aleatorios de su distribución preferida, normalícelos y guárdelos en el $i^{th}$ -una matriz de Nx3. Repite este procedimiento N veces y traza las frecuencias de cada columna.

Se prefiere la solución analítica en lugar de intentar demostrarla a partir de muestras aleatorias en R, lo que sería sólo una aproximación numérica.

Answer 5

Todavía no está claro si el PO quiere una solución con un modo de 0,33 o $1 \over 3$ o una media con uno de esos dos valores. Sin conocer la necesidad exacta, existen múltiples posibilidades. A continuación, [1] y [4] abordan el problema de obtener una media de ${1 \over 3},$ mientras que [2] y [3] son para un modo de ${1 \over 3}$ .

[1] Generar $U_1, U_2, U_3$ como variantes aleatorias continuas y uniformes en $[0,{2 \over 3}]$ . Dejemos que $A = {{U_1} \over {U_1 + U_2 + U_3}},$ $B = {{U_2} \over {U_1 + U_2 + U_3}},$ y $C = {{U_3} \over {U_1 + U_2 + U_3}}.$

[2] Deja que $X=(1/3)*W_1 + (1/6),$ $Y = (1/3)*W_2 + (1/6),$ y $Z = 1 - X - Y,$ donde $W_1$ y $W_2$ son continuas y uniformes en $[0,1].$ $Z$ tiene una distribución diferente a la de $X$ o $Y,$ pero creo que esto cumplirá el requisito del modo original.

[3] En un esfuerzo por producir una versión más intuitiva, dejemos $R_1$ sea triangular derecha con extremo izquierdo en cero y modo en ${1 \over 3} .$ Dejemos que $L_1$ sea triangular de izquierda con modo en $1 \over 3$ y el extremo derecho en ${2 \over 3} .$ Entonces $R_1 + L_1$ tiene un modo único en ${2 \over 3},$ y si definimos $Q = 1 - (R_1 + L_1)$ entonces $Q$ tiene un modo único en ${1 \over 3}.$ El pdf de $Q$ se indica a continuación en los comentarios.

[4] Tratando de ser inteligente, simple y elegante. Generar 2 realizaciones independientes y uniformes[0,1]. Estos 2 puntos dividen el intervalo de 0 a 1 en 3 trozos. Utiliza las longitudes de estos 3 trozos como las variantes deseadas. Observe cómo esto se generaliza intuitivamente a cualquier suma y cualquier número de variables aleatorias. Cada variante está idénticamente distribuida (otra distribución triangular derecha). Cada correlación por pares es $-{1 \over 2}.$ Sin embargo, al igual que el enfoque [1], la media es ${1 \over 3},$ pero el modo aquí no es ${1 \over 3}.$ Como whuber señaló, está en cero.