Si $AA^T$ es una matriz diagonal, ¿qué se puede decir de $A^TA$ ?

Question

Estoy tratando de responder esta pregunta y cualquier método que se me ocurra requiere un conocimiento de $A^TA$ dado que $AA^T=D$ , donde $D$ es diagonal y $A$ es una matriz cuadrada. No he podido encontrar nada útil en MSE ni en ningún otro sitio y no he podido hacer ningún progreso por mi cuenta.

Answer 1

Todo lo que puede decir sobre $A^{\mathsf T}A$ es que es una matriz simétrica similar a $AA^{\mathsf T} = D$ (es decir, se diagonaliza a $D$ ).

Podemos ver esto desde $A$ La descomposición del valor singular: si $A = U\Sigma V^{\mathsf T}$ entonces $AA^{\mathsf T} = U \Sigma^2 U^{\mathsf T}$ y $A^{\mathsf T}A = V\Sigma^2 V^{\mathsf T}$ , por lo que ambos son similares a $\Sigma^2$ .

Para ver que no podemos hacerlo mejor, observe que si sustituimos $A$ por $AQ$ , donde $Q$ es cualquier matriz ortogonal, entonces $(AQ)(AQ)^{\mathsf T} = AQQ^{\mathsf T}A^{\mathsf T} = AA^{\mathsf T} = D$ , mientras que $(AQ)^{\mathsf T}AQ = Q^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}A)Q$ que es la conjugación de $A^{\mathsf T}A$ por una matriz ortogonal arbitraria $Q$ .

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En el caso de que $A$ no es necesariamente cuadrado, ni siquiera podemos decir esto, aunque a partir de la descomposición del valor singular todavía podemos concluir que $AA^{\mathsf T}$ y $A^{\mathsf T}A$ tienen los mismos valores propios no nulos.

Answer 2

Si está esperando $A^\top A$ para ser diagonal, aquí hay un contraejemplo. Sea $A = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}$ . Entonces $AA^\top$ es diagonal pero $A^\top A$ no lo es.

Answer 3

Si $A^TA = D$ entonces las columnas de $A$ son ortogonales. Por lo tanto, $A = O\Lambda$ para alguna matriz diagonal $\Lambda$ . (En particular, si $A$ es no singular, podemos tomar $\Lambda_{ii}$ para ser la norma de la $i$ columna de $A$ y que el $i$ columna de $O$ sea una versión normalizada del $i$ columna de $A$ .)

Entonces, $$A^TA = \Lambda^TO^TO\Lambda = \Lambda^2 = D$$ así que $\Lambda$ es la raíz cuadrada positiva de $D$ . Así, $$AA^T = O \Lambda \Lambda^T O^T = O D O^T.$$