Estoy tratando de responder esta pregunta y cualquier método que se me ocurra requiere un conocimiento de $A^TA$ dado que $AA^T=D$ , donde $D$ es diagonal y $A$ es una matriz cuadrada. No he podido encontrar nada útil en MSE ni en ningún otro sitio y no he podido hacer ningún progreso por mi cuenta.
Todo lo que puede decir sobre $A^{\mathsf T}A$ es que es una matriz simétrica similar a $AA^{\mathsf T} = D$ (es decir, se diagonaliza a $D$ ).
Podemos ver esto desde $A$ La descomposición del valor singular: si $A = U\Sigma V^{\mathsf T}$ entonces $AA^{\mathsf T} = U \Sigma^2 U^{\mathsf T}$ y $A^{\mathsf T}A = V\Sigma^2 V^{\mathsf T}$ , por lo que ambos son similares a $\Sigma^2$ .
Para ver que no podemos hacerlo mejor, observe que si sustituimos $A$ por $AQ$ , donde $Q$ es cualquier matriz ortogonal, entonces $(AQ)(AQ)^{\mathsf T} = AQQ^{\mathsf T}A^{\mathsf T} = AA^{\mathsf T} = D$ , mientras que $(AQ)^{\mathsf T}AQ = Q^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}A)Q$ que es la conjugación de $A^{\mathsf T}A$ por una matriz ortogonal arbitraria $Q$ .
En el caso de que $A$ no es necesariamente cuadrado, ni siquiera podemos decir esto, aunque a partir de la descomposición del valor singular todavía podemos concluir que $AA^{\mathsf T}$ y $A^{\mathsf T}A$ tienen los mismos valores propios no nulos.
@tobwin $\left[\begin{smallmatrix}1&-1\\2&2\end{smallmatrix}\right]\cdot\left[\begin{smallmatrix}1&2\\-1&2\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}2&0\\0&8\end{smallmatrix}\right]$. Multiplying in the other order though gives $\left[\begin{smallmatrix}5&3\\3&5\end{smallmatrix}\right]$
Si $A^TA = D$ entonces las columnas de $A$ son ortogonales. Por lo tanto, $A = O\Lambda$ para alguna matriz diagonal $\Lambda$ . (En particular, si $A$ es no singular, podemos tomar $\Lambda_{ii}$ para ser la norma de la $i$ columna de $A$ y que el $i$ columna de $O$ sea una versión normalizada del $i$ columna de $A$ .)
Entonces, $$A^TA = \Lambda^TO^TO\Lambda = \Lambda^2 = D$$ así que $\Lambda$ es la raíz cuadrada positiva de $D$ . Así, $$AA^T = O \Lambda \Lambda^T O^T = O D O^T.$$
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$(AB)^T=B^TA^T$
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Podría ayudar a algunas personas a notar que $(AA^{\mathsf T})^{\mathsf T}$ es en general sólo $AA^{\mathsf T}$ de nuevo, no $A^{\mathsf T}A$ .
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@tobwin, $(AA^T)^T=AA^T$ . Nada nuevo.
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@tobwin, lo sé. ¿Has visto mi comentario de arriba?
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@tobwin Sí, sabemos que la transposición de una matriz diagonal es la propia matriz, pero ¿qué tiene eso que ver con el problema actual? Sabemos que $(AA^T)$ es una matriz diagonal $D$ . Y sabemos que la transposición de esa matriz diagonal es ella misma, pero ya sabíamos que $(AA^T)^T=AA^T$ . Nadie lo discute. Sin embargo, esto no proporciona ninguna información sobre $A^TA$ y ciertamente no implica directamente que $AA^T=A^TA$ .
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Supongo que tuve un ataque o algo así. Lo siento
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@tobwin No te preocupes, a todos nos pasa alguna vez.