Supongamos que tenemos una secuencia de (Lebesuge) funciones medibles $f_n,g_n$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$. Supongamos también que para cada $n$, $f_n=g_n$ en casi todas partes.
Quiero demostrar que la $\sup f_n=\sup g_n$ en casi todas partes, dadas las condiciones anteriores. Es decir, necesito mostrar que el conjunto de puntos de $x$ para que las dos secuencias $f_n(x)$, $g_n(x)$ tienen diferentes supremum es nulo.
Sin embargo, sólo tengo muy vagas ideas acerca de este problema: he tratado de encontrar un conjunto que contiene al conjunto $\{ \sup f_n\neq \sup g_n\}$ que fácilmente se puede identificar como un conjunto null, y luego por la integridad de la $\mathbb{R}$ (como una medida de espacio) hemos terminado.
Pero siempre me queda bloqueado en algún momento debido a la falta de nuevas ideas/ o tal vez porque mi enfoque no fue correcta.
Cualquier ayuda apreciado
