Muestre que A contiene dos números$s$ y$t$ tal que$s-t=9$.

Question

Deje $A \subset K$ donde $K=\{1,...,100\}$ con $A=55$%. Muestran que Una contiene dos números de $s$ y $t$ tal que $s-t=9$.

Sugerencia: Use la Regla de la Doble contabilización

De mis notas, la regla de la Doble contabilización es:

Deje $(X,Y,I)$ ser la incidencia del sistema y para $a\in X$ deje $r(a)$ indicar el número de elementos de $T$ incidente a $a$, y deje $r(b)$ para $b\in Y$ es el número de elementos incidente a $b$. A continuación, la siguiente relación se mantiene:

$$\sum_{a\in X} r(a)= \sum_{b\in Y} r(b) $$

$\mathbf{Attempt}$

Creo que tomamos $X=K$ e $Y=A$ y el incidente es que el $s-t=9$ ,así que de ahí que significaría $$\sum_{a\in S} r(a)=55$$

Sin embargo, estoy confundido en qué hacer con el lado derecho de la regla, ¿cómo podemos elegir los elementos de este conjunto donde $s-t=9$ está satisfecho?

Cualquier Sugerencias sería una gran ayuda, gracias.

Answer 1

Sugerencia: Vamos a$B = \{x + 9 \mid x \in A\}$. Entonces $|B| = 55$. Por otra parte,$B \subset \{10, \ldots, 109\}$. Por lo tanto, $A \cup B \subset \{1, \ldots, 109\}$. Dado que hay$55$ elementos en$A$ y$55$ elementos en$B$, no todos pueden ser distintos.