Mostrando que $\prod_{k=1} ^{\infty}\left(1- \frac{1}{2k}\right) = 0$

Question

¿Cómo encontrar este producto?

$$\prod_{k=1} ^{\infty}\left(1- \frac{1}{2k}\right)$$

Sé que la respuesta es $0$, pero quiero saber cómo y por qué.

Answer 1

Tenemos que por $\log (1-x)\le -x$

$$\log\prod_{k=1} ^{n}{\left(1- \frac{1}{2k}\right)}=\sum_{k=1} ^{n} \log\left(1- \frac{1}{2k}\right)\le -\sum_{k=1} ^{n} \frac1{2k}\to -\infty$$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\begin{align}\prod_{k=1}^\infty\left(1-\frac1{2k}\right)&=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot 3\cdots(2n-1)}{2\cdot 4\cdots 2n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot 3\cdots(2n-1)}{2\cdot 4\cdots 2n}\cdot\frac{2\cdot 4\cdots 2n}{2\cdot 4\cdots 2n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{(2^n(1\cdot 2\cdots n))^2}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\end{align}$$

Ahora, usando la aproximación de Stirling en la última expresión completa la prueba.