Estoy haciendo algunas preguntas de práctica para mi examen y me gustaría ayudar en la solución de este problema:
$D,E$ son divisores de Cartier en un nonsingular proyectiva de la superficie de $X$.
(1) Si $D\equiv 0$ demostrar que dim $H^0(X,sD)\leq 1$ para todos los $s\geq 1$.
(2) Si $D$ es efectivo, $D\neq 0$ e $D\equiv E$ muestran que $H^0(X,tE)=0$ para todos los $t\leq -1$.
(3) en (2) true si $E=D$ e $X$ es nonsingular variedad afín de dimensión positiva?
Aquí está mi funcionamiento para (1) y (2): ¿son correctos?
Por definición, $D\equiv 0$ medio $D.C=0.C=0$ para cualquier curva de $C$.
(Nota: El resto de esta parte se señaló estar equivocado)
Desde que se puede construir fácilmente una línea de intersección con $D$, esto muestra que $D=0$. Entonces claramente $sD=0$ para todos los $s\geq 1$. Sé que dim $H^0(X,sD)-1=$ dim$|sD|$, por lo tanto yo puedo demostrar que dim $|sD|\leq 0$. Desde $|sD|=\lbrace D'\geq 0|D'\sim sD\rbrace$, por lo $D'\sim 0$ e $D'=0$. Esto demuestra que $|sD|=\lbrace 0\rbrace$ y por lo tanto dim $|sD|=0$.
Para (2), ya $D>0$ e $t\geq -1$, por lo tanto deg $tE<0$.
$H^0(X,tE)=\lbrace f\in k(X)\setminus\lbrace 0\rbrace|tE+div(f)\geq 0\rbrace\cup\lbrace 0\rbrace$.
Suponiendo un $f$ existe,$tE+div(f)\geq 0$.
Pero el grado de $div(f)=0$, por lo tanto, esta es una contradicción.
No estoy seguro acerca de (3)...
Gracias por leer!
