Sobre el hecho de que cada número natural que es coprime a $10$ tiene múltiples en la forma en que cada dígito es $1$.

Question

Es sabido que cada número natural que es coprime a $10$ tiene múltiples en la forma en que cada dígito es $1$.

Por ejemplo, podemos ver $$111=3\times 37, 111111=7\times 15873, 111111111=9\times 12345679, $$$$11=11\veces 1, 111111=13\times 8547,\cdots$$

Para demostrar esta realidad es fácil si usamos el principio del Palomar.

Entonces, aquí está mi pregunta.

Pregunta : ¿Cómo podemos conseguir el mínimo de dígitos (que esto lo $N(m)$) de los múltiplos de $m$ en la forma anterior para cualquier $m\in\mathbb N$ que es coprime a $10$?

(Creo que la mejor respuesta sería para representar a $N(m)$ por $m$ si es posible.)

Por ejemplo, a pesar de que conseguir $111111111111=13\times 8547008547$, sabemos que $N(13)=6.$

Motivación : El hecho de que más me interesa en esta pregunta.

Answer 1

La forma más sencilla de obtener el mínimo de dígitos es evaluar $\frac1m$, y encontrar el número de dígitos en la parte que se repite el número (a menos $m$ es un múltiplo de 3, en el que caso de que usted tiene que hacer algunas correcciones).

Así, por ejemplo, para obtener un repunit (el término general para los números de la forma $111...111$) de $7$, usted tiene que multiplicar por 15873 para obtener 111111. Que N(7)=6. Del mismo modo, si se evalúa $\frac17$, se obtiene

$$ \frac17 = 0.\overline{142857} $$ Seis dígitos para la parte que se repite de la expansión decimal.

Esto funciona porque tiene $$ \frac{999999}7 = 142857 $$ Y así $$ \frac{111111}7 = \frac{142857}9 = 15873 $$ Donde $m$ es divisible por 3, debe multiplicar el número resultante de dígitos por 3, y del mismo modo, si $m$ es divisible por 9, se debe multiplicar por 9. Usted no necesita hacer esto para potencias mayores de 3 más allá de esto - por ejemplo, para $m=27$, usted tiene $$ \frac1{27} = 0.\overline{037} $$ y así tienes 3, pero usted sólo tiene 27 dígitos, por lo que sólo tiene que multiplicar por 9.