$\sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} 2k\binom{n}{2k}=n\cdot2^{n-2}$

Question

Deje $n\geq 2$ ser incluso. Mostrar que $$ \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} 2k\binom{n}{2k}=n\cdot2^{n-2} $$ 1) En una combinatoria manera. (sugerencia: número de pares de $(x,S)$ s.t. $x\in S\subset \{1,2,...,n\}$ donde $|S|$ es aún)

2) Usando el teorema del binomio. (sugerencia: derivado $(1+x)^n+(1-x)^n$ )

Progreso:
1) a partir De la sugerencia de que yo era capaz de deducir que la LHS cuenta el número de subconjuntos $S_i$ donde $|S_i|$ es incluso para todos los $i$s, multiplicado por su cardinalidad, aunque no estoy seguro de eso. ¿Cómo hace uno para ponerlo en una combinatoria de prueba?

2) he calculado la derivada, pero no hay nada aún.

Answer 1

$$(1+x)^n+(1-x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^{n-k}x^k$$

El uso que desde $n$ incluso $(-1)^{n-k}=(-1)^k$. Incluso para $k$ los términos se cancelan uno al otro así:

$$(1+x)^n+(1-x)^n=\sum_{k=0}^{n/2}2\binom{n}{2k}x^{2k}$$

Tomando la derivada de ambos lados, se obtiene:

$$n(1+x)^{n-1}-n(1-x)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n/2}4k\binom{n}{2k}x^{2k-1}$$

Conectar $x=1$ rendimientos $$n\cdot 2^{n-2}=\sum_{k=0}^{n/2}2k\binom{n}{2k}$$

Answer 2

Considerar el conjunto de pares $(x,S)$ donde $S$ es un subconjunto de $[n]$ incluso de cardinalidad y $x$ es un elemento de S. Si $S$ tiene cardinalidad $2k$ hay $\binom{n}{2k}$ opciones y hay $2k$ formas de elegir los $x$, por lo que tenemos \begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}} 2k\binom{n}{2k}. \end{eqnarray*} Por otro lado podemos optar $x$ en $n$ formas y, a continuación, $S=\{x\} \cup S'$ donde $S'$ es un subconjunto de $[n] / \{x\}$, elija la primera $n-2$ elementos de estar o no en $S'$ ($2^{n-2}$ formas) y, a continuación, elija el elemento final para estar o no en $S'$ a fin de que la cardinalidad de $S'$ es raro, así que le da $n 2^{n-2}$.

Para la segunda parte, se diferencian & set $x=1$.

Answer 3

Para la segunda parte considere la posibilidad de $$\sum_{k=0}^{\frac {n}{2}} 2k. \binom {n}{2k}=n\sum_{k=1}^{\frac {n}{2}} \binom {n-1}{2k-1}$$ Deje $n=2m$ A continuación, nuestra identidad se convierte a $$2m\sum_{k=1}^{m} \binom {2m-1}{2k-1}$$

Ahora tenemos $$(1+x)^{2m-1}=\sum_{k=0}^{2m-1} \binom {2m-1}{k}.x^k$$ Y $$(1-x)^{2m-1}=\sum_{k=0}^{2m-1} \binom {2m-1}{k}.(-x)^k$$

Por lo tanto tenemos $$(1+x)^{2m-1}- (1-x)^{2m-1}= 2\sum_{k=1}^{m} \binom {2m-1}{2k-1}x^k$$

Por lo tanto, colocar $x=1$ Tenemos $$2^{2m-1}=2\sum_{k=1}^{m} \binom {2m-1}{2k-1}$$ Por lo tanto tenemos $$2^{2m-2}= \sum_{k=1}^{m} \binom {2m-1}{2k-1}$$

Por lo tanto el valor de nuestra identidad se convierte en $$\sum_{k=0}^{\frac {n}{2}} 2k. \binom {n}{2k}=n. 2^{n-2}$$