Soluciones de Black Scholes

Question

Considerar el black scholes ecuación,

$$ \frac{\partial V}{\partial t } + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2 } + ( r-q )S\frac{\partial V}{\partial S }-rV =0 $$

¿Cómo puedo demostrar que si $V( S, t)$ es una solución, entonces se $S(\frac{\partial V}{\partial S })$ también es una solución?

Traté de sustituir $S(\frac{\partial V}{\partial S })$ a de la ecuación y de trabajo a través de los cálculos, pero no parecen funcionar.

En una nota relacionada, ¿cómo podemos demostrar también que para $ \beta = 1-2(r-q)/\sigma^2$,

$$ W(S, t) = S^\beta V(\frac{1}{S}, t) $$

también es una solución?

Las correspondientes derivadas parciales son,

$$ \begin{align} \frac{\partial W}{\partial S} & = \beta S^{\beta -1 }V- S^{\beta -2}\frac{\partial V}{\partial S}\\ \frac{\partial^2 W}{\partial S^2} & = S^{\beta -4}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} -2S^{\beta -3}\frac{\partial V}{\partial S} + \beta(\beta -1 )S^{\beta-2}V \end{align} $$

Para que los distintos términos en el PDE, que son,

$$\begin{align} (r-q)S\frac{\partial W}{\partial S} & = (r-q) \left[ \beta S^{\beta }V- S^{\beta -1}\frac{\partial V}{\partial S} \right] \\ \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2W}{\partial S^2}& =\frac{1}{2}\sigma^2\left[ S^{\beta -2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} -2S^{\beta -1}\frac{\partial V}{\partial S} + \beta(\beta -1 )S^{\beta}V \right] \end{align} $$

Puedo ver que $ (r-q) \beta S^{\beta }V$ en la parte superior plazo cancela con $\frac{1}{2}\sigma^2\beta(\beta -1 )S^{\beta}V $ en la parte inferior plazo.

Así que terminamos con,

$$ (r-q)S\frac{\partial W}{\S parcial}+\frac{1}{2}\sigma^2^2\frac{\partial^2}{\partial S^2}=-(r-q) S^{\beta -1}\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2\left[ S^{\beta -2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} -2S^{\beta -1}\frac{\partial V}{\partial S} \right] $$

Pero más allá de este tipo de se pegó a pesar de intentar varias manipulaciones.

Cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

Primera nota de que

$$\frac{\partial}{\partial S}\left(S\frac{\partial V}{\partial S}\right) = \frac{\partial V}{\partial S} + S \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$$

y

$$\frac{\partial^2}{\partial S^2}\left(S\frac{\partial V}{\partial S}\right) = 2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + S \frac{\partial^3 V}{\partial S^3} \; .$$

A continuación, tomar la derivada de la Black-Scholes ecuación con respecto a $S$.

$$\frac{\partial}{\partial T}\frac{\partial V}{\partial S } + \frac{1}{2}\sigma^2 \left(2S\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + S^2 \frac{\partial^3 V}{\partial S^3}\right) + ( r-q )\left(\frac{\partial V}{\partial S } + S\frac{\partial^2 V}{\partial S^2 }\right)-r\frac{\partial V}{\partial S} =0 \; .$$

El uso de nuestros primeros dos identidades, identificamos el segundo y tercer término

$$\frac{\partial}{\partial T}\frac{\partial V}{\partial S } + \frac{1}{2}\sigma^2 \left(S\frac{\partial^2}{\partial S^2}\left(S\frac{\partial V}{\partial S}\right)\right) + ( r-q )\left(\frac{\partial}{\partial S}\left(S\frac{\partial V}{\partial S}\right)\right)-r\frac{\partial V}{\partial S} =0 \; .$$

Multiplicando todo por S, obtenemos

$$\frac{\partial}{\partial T}\left(S\frac{\partial V}{\partial S }\right) + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2}{\partial S^2}\left(S\frac{\partial V}{\partial S}\right) + ( r-q )S\frac{\partial}{\partial S}\left(S\frac{\partial V}{\partial S}\right)-rS\frac{\partial V}{\partial S} =0 \; .$$

Answer 2

$$\frac{\partial V}{\partial t } + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2 } + ( r-q )S\frac{\partial V}{\partial S }-rV =0$$ Podemos reagrupar $$\frac{\partial V}{\partial t } + \frac{1}{2}\sigma^2 \left( S\frac{\partial }{\partial S}\right)^2 V + ( r-q - \sigma^2/2 )S\frac{\partial V }{\partial S } -rV =0.$$

Ahora observe que el $S \frac{\partial}{\partial S}$ viajes con todos los coeficientes (es decir, términos en frente) de $V$, ya que los viajes en sí mismo y no interactuar con $\frac{\partial}{\partial t}.$

El resultado es ahora inmediata.

(ver mi libro de Conceptos, etc sección 5.8)

Answer 3

Ok para la segunda parte, en la $W(S,t)=S^\beta V(1/S,t)$, he resuelto. Sólo algunos descuido de mi parte cuando tirar términos alrededor. Se va como sigue...

Las derivadas parciales son, $$\begin{align} \frac{\partial W}{\partial S} & = \beta S^{\beta -1 }V- S^{\beta -2}\frac{\partial V}{\partial S}\\ \frac{\partial^2 W}{\partial S^2} & = \beta \left[ -S^{\beta-3}\frac{\partial V}{\partial S} + (\beta-1)S^{\beta-2}V \right] - \left[ -S^{\beta-4} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (\beta-2)S^{\beta -3}\frac{\partial V}{\partial S} \right] \end{align}$$

Deje $x=1/S$ y el factor de salida $S^\beta$,

$$\begin{align} \frac{\partial W}{\partial S} & = S^{\beta } \left[ \beta xV -x^2\frac{\partial V}{\partial S} \right] \\ \frac{\partial^2 W}{\partial S^2}& = S^{\beta } \left[ \beta \left( -x^3\frac{\partial V}{\partial S} + (\beta-1)x^2V \right) -\left( -x^4\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} +(\beta-2)x^3\frac{\partial V}{\partial S}\right)\right] \end{align}$$ Excluimos $S^{\beta} $, ya que es un factor común a todos los términos. El PDE términos,

$$\begin{align} ( r-q )S\frac{\partial W}{\partial S} & = ( r-q )x^{-1}\frac{\partial W}{\partial S} \\ & = ( r-q )\left[ \beta V -x\frac{\partial V}{\partial S} \right]\\ \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 W}{\partial S^2} &= \frac{1}{2}\sigma^2x^{-2}\frac{\partial^2 W}{\partial S^2}\\ &= \frac{1}{2}\sigma^2 \left[ \beta \left( -x\frac{\partial V}{\partial S} + (\beta-1)V \right) -\left( -x^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} +(\beta-2)x\frac{\partial V}{\partial S}\right) \right] \end{align}$$

Como se mencionó anteriormente, los términos relacionados con la $V$ cancela, por lo tanto $$\begin{align} ( r-q )S\frac{\partial W}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 W}{\partial S^2} & = -( r-q )\left[x\frac{\partial V}{\partial S}\right] + \frac{1}{2}\sigma^2\left[(2-2\beta)x\frac{\partial V}{\partial S}+x^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right] \\& =-( r-q )\left[x\frac{\partial V}{\partial S}\right] +2( r-q )\left[x\frac{\partial V}{\partial S}\right] +\frac{1}{2}\sigma^2x^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\\&=\frac{1}{2}\sigma^2x^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+( r-q )x\frac{\partial V}{\partial S} \end{align} $$

La combinación con los otros dos términos que tenemos,

$$ S^\beta \left[ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2x^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+( r-q )x\frac{\partial V}{\partial S} -rV \right]=S^\beta.0=0 $$ Por lo tanto hemos demostrado que si $ V(S,t)$ es una solución para el Black Scholes de la PDE, a continuación, $W(S,t)=S^\beta V(1/S,t)$ es también solución.